Vertiefung
Zur Orientierung
Wie kann man Fixgeraden bei affinen Abbildungen bestimmen? Wir betrachten hier den allgemeinen Fall, dass die Abbildung eine affine Abbildung ist und dass die Fixgerade eine beliebige Gerade sein kann.
Eine Bedingung für Fixgeraden entwickeln
Aufgabe 1
Betrachte die im Applet voreingestellte affine Abbildung $\alpha$. Es handelt sich bei dieser Abbildung um eine Verschiebung.
Zum Herunterladen: fixgerade4a.ggb
(a) Verdeutliche anhand des Applets: Die Bedingung $\vec{u}\;' = \lambda \cdot \vec{u}$ mit $\lambda \neq 0$ reicht nicht aus, um zu schließen, dass die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist.
(b) Bewege den Punkt $Q$ an eine Position, so dass die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist.
(c) Warum muss die zusätzliche Bedingung $\overrightarrow{ PP' } = k \cdot \vec{u}$ (mit einer reellen Zahl $k$) erfüllt sein, damit die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade von $\alpha$ ist.
(d) Bestimme experimentell weitere Fixgeraden von $\alpha$. Das ist bei der vorgegebenen affinen Abbildung $\alpha$ recht einfach. Man kann $P$ zunächst an eine beliebige Position setzen. Dann muss man $Q$ an eine geeignete Position platzieren.
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet voreingestellte affine Abbildung $\alpha$ mit der Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} 0.5 & -1 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix}$ und dem Verschiebevektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Zum Herunterladen: fixgerade4b.ggb
Aus den bisherigen Überlegungen geht hervor, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Gerade $g$ durch $P$ und $Q$ eine Fixgerade ist.
- Die Richtungsvektoren $\vec{u}$ von $g$ und $\vec{u}\:'$ von $\alpha(g)$ müssen Vielfache voneinander sein, damit sie dieselbe Richtung beschreiben. Das ist genau dann der Fall, wenn $\vec{u}$ ist ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix $A$ mit einem Eigenwert $\lambda \neq 0$ ist.
- $P'$ muss auf der Geraden durch $P$ und $Q$ liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn $\overrightarrow{ PP' }$ ein Vielfaches von $\vec{u}$ ist.
(a) Der Punkt $P$ liegt bereits an einer günstigen Position. Verschiebe $Q$ an eine Position, so dass $\vec{u}$ und $\vec{u}\:'$ sowie $\overrightarrow{ PP' }$ und $\vec{u}$ Vielfache voneinander sind. Dann hast du eine erste Fixgerade gefunden. Beschreibe diese Fixgerade (in Worten oder mit einer Geradengleichung).
(b) Gibt es weitere Fixgeraden? Bringe hierzu $P$ zunächst an eine andere Position. Versuche anschließend, $Q$ an eine Position zu bringen, so dass die beiden oben formulierten Bedingungen erfüllt sind. Du wirst vermutlich feststellen, dass es gar nicht so einfach ist, eine passende Position für den Punkt $P$ zu finden.
(c) Verwende jetzt die Bedingung, dass $\vec{u}$ ein Eigenvektor der Abbildungsmatrix $A$ sein muss. Mache dir klar, dass man $P$ an eine Position bringen muss, so dass $\overrightarrow{ PP' }$ ein Vielfaches eines Eigenvektors von $A$ ist. Die Eigenvektoren von $A$ kannst du hier einblenden.
Für welchen Eigenvektor von $A$ ist das voreingestelle $P(-2|-2)$ eine günstige Position?
Suche eine günstige Position für $A$ für den anderen Eigenvektor. Ermittle dann eine zweite Fixgerade. Beschreibe diese Fixgerade (in Worten oder mit einer Geradengleichung).
Aufgabe 3
Begründe mit den vorangehenden Überlegungen den folgenden Satz.
Fixgeraden einer affinen Abbildung
Eine Gerade $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ ($t \in \mathbb{R}$) ist Fixgerade der affinen Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ genau dann, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
-
$\underbrace{\vec{u}\;'}_{A \cdot \vec{u}}$ ist parallel zu $\vec{u}$ und kein Nullvektor bzw.
$\vec{u}$ ist ein Eigenvektor von $A$ mit einem Eigenwert $\lambda \neq 0$. -
$P'$ liegt auf der Geraden $g$ bzw.
$\underbrace{\overrightarrow{ PP' }}_{(A \cdot \vec{p} + \vec{v}) - \vec{p}} = k \cdot \vec{u}$ mit einer reellen Zahl $k$.
