Exkurs - Geometrische Deutung der Umkehrbarkeit
Umkehrbarkeit untersuchen
Eine geometrische Abbildung (der Ebene) ist umkehrbar genau dann, wenn sie unterschiedliche Vektoren (bzw. Punkte) auf unterschiedliche Bildvektoren (bzw. Bildpunkte) abbildet.
Zur Untersuchung der Umkehrbarkeit von linearen und affinen Abbildungen verwenden wir das folgende Applet.
Zum Herunterladen: affineabbildungen_einheitsquadrat.ggb
Aufgabe 1
(a) Stelle im Applet die folgende Abbildung ein.
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Verdeutliche im Applet, dass diese Abbildung nicht umkehrbar ist. Blende hierzu den Punkt $P$ ein und bewege ihn entlang der Quadratrands.
(b) Stelle im Applet die folgende Abbildung ein.
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Woran erkennt man im Applet (zumindest exemplarisch), dass diese Abbildung umkehrbar ist?
(c) Verdeutliche anhand des Applets: Die Umkehrbarkeit einer linearen bzw. affinen Abbildungen sieht man im Applet so:
Geometrische Deutung der Umkehrbarkeit
Eine lineare / affine Abbildung ist umkehrbar genau dann, wenn das 2D-Einheitsquadrat auf ein 2D-Parallelogramm abgebildet wird.
Das ist genau dann der Fall, wenn die Vektoren
$\overrightarrow{ O'E_1' }$ und $\overrightarrow{ O'E_2' }$ bzw. die die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix
nicht parallel
sind.
Das ist genau dann der Fall, wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix keine Vielfache voneinander
sind bzw. linear unabhängig sind.
