Erarbeitung

Fixpunkte experimentell bestimmen

Zur Bestimmung von Fixpunkten verwenden wir das folgende Applet.

Anleitung zum Applet

• Im oberen Fenster kann man die betrachtete affine Abbildung festlegen.
• Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ im unteren Fenster sind beweglich. Sie sollen an Fixpunkt-Positionen verschoben werden; also Positionen, in denen die betreffenden Bildpunkte $P'$, $Q'$ und $R'$ an derselben Position wie die Ausgangspunkte liegen. Es werden hier $3$ bewegliche Punkte angeboten, um ggf. mehrere Fixpunkte zu markieren.
• Die Koordinaten der Ausgangspunkte $P$, $Q$ und $R$ und derr zugehörigen Bildpunkte $P'$, $Q'$ und $R'$ werden zur Kontrolle im oberen Fenster angezeigt.

Zum Herunterladen: fixpunkte1.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die voreingestellte Abbildung $\alpha$ (das ist die Abbildung, die auch Einstiegsapplet voreingestellt ist):

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -0.5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Bestimme experimentell die Fixpunkte von $\alpha$. Bewege hierzu den Punkt $P$ an eine Stelle, an der $P'$ mit $P$ übereinstimt. Suche anschließend mit $Q$ oder $R$ weitere solche Stellen.

Ergänze das Ergebnis.

Abbildung	Fixpunkte
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -0.5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2

Gehe analog zu Aufgabe 1 vor. Bestimme experimentell die Fixpunkte und trage sie in der Tabelle ein.

Abbildung	Fixpunkte
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\dots$

Aufgabe 3

Suche weitere affine Abbildungen, die genau einen oder keinen oder unendlich viele Fixpunkte haben. Bei der Suche kannst du dich evtl. an den Standardabbildungen orientieren. Trage deine Ergebnisse in der Tabelle in Aufgabe 2 ein.