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Übungen - Abbildung von Geraden

Aufgabe 1

Betrachte die Gerade g mit folgender Geradengleichung.

g:x=(12.5)+t(21) mit tR

(a) Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.

tx (zum Punkt X der Geraden)
t=0
t=1
t=1
t=0.5
x=(30.5)
x=(75.5)
Zur Kontrolle

Zum Herunterladen: geradengleichung6.ggb

(b) Gib weitere Geradengleichung für g an. Variiere hierzu den Stütz- und den Richtungsvektor der Geraden. Zur Kontrolle kannst du die Punkte P und Q im Applet auf der Geraden g bewegen.

Aufgabe 2

Warum wird eine Gerade bei einer affinen Abbildung wieder auf eine Gerade abgebildet?

Zum Herunterladen: affineabbildung_einer_geraden.ggb

(a) Mache dir anhand des Applets folgende Zusammenhänge klar.

  • Betrachte das (blau dargestellte) Ausgangsraster, das mit O(0|0) und den Einheitsvektoren OE1=(10) und OE2=(01) aufgespannt wird. Mit der affinen Abbildung α wird dieses (blau dargestellte) Ausgangsraster auf das (rot dargestellte) Bildraster abgebildet. Das Bildraster wird bei der vorgegebenen Abbildung α mit O(2|2) und den Vektoren OE1=(10.5) und OE2=(11) aufgespannt.
  • Betrachte eine Gerade g, die durch die Punkte P und Q verläuft. Hervorgehoben sind die (blau dargestellten) Rasterpunkte, die auf der Geraden g liegen. Die zugehörigen Bildpunkte bei der affinen Abbildung liegen im (rot dargestellten) Bildraster – und das an genau den analogen Positionen: Die Rasterpunkte auf g erhält man, indem man sich im blauen Raster jeweils um 2 Einheiten in Richtung OE1 und 1 Einheit in Richtung OE2 bewegt. Die Bilder dieser Rasterpunkte erhält man, indem man sich im roten Raster jeweils um 2 Einheiten in Richtung OE1 und 1 Einheit in Richtung OE2 bewegt. Die Bilder der Rasterpunkte liegen somit alle auf einer Geraden.

(b) Lies die Koordinaten der Punkte P und Q im Koordinatensystem ab. Zeige, dass PQ=2OE1+1OE2 gilt.

(c) Bestimme die Bildpunkte P und Q mit Hilfe der im Applet eingestellten affinen Abbildung α. Zeige, dass PQ=2OE1+1OE2 gilt.

(d) Beschreibe die Gerade g durch P und Q mit einer Geradengleichung. Benutze OP als Stützvektor und PQ als Richtungsvektor.

(e) Beschreibe die Gerade g durch P und Q mit einer Geradengleichung. Benutze OP als Stützvektor und PQ als Richtungsvektor.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Punkte A(4|0), B(4|4), C(2|6), D(0|4) und E(0|0). Diese Punkte kann man durch den Streckenzug ABCDBEADE zu einem Haus des Nikolaus miteinander verbinden.

(a) Bestimme die Bildpunkte der Eckpunkte des Haus des Nikolaus mit der folgenden affinen Abbildung.

α:(x1x2)=(1111)(x1x2)+(42)

(b) Zeichne das Haus des Nikolaus und sein Bild bei der affinen Abbildung in ein Koordinatensystem (am besten mit den Farben blau und rot).

(c) Beschreibe jede Verbindungslinie des Streckenzugs ABCDBEADE mit einer Geradengleichung.

(d) Beschreibe ebenso jede Verbindungslinie des Streckenzugs ABCDBEADE mit einer Geradengleichung.

(e) Welche der Geraden in (c) sind parallel? Welche der Geraden in (d) sind parallel? Woran erkennt man das anhand der Geradengleichungen. Erstelle eine Übersicht, in der die Zusammenhänge erfasst werden.

Aufgabe 4

Wahr oder falsch? Untersuche die folgenden Aussagen. Begründe ggf. mit den Eigenschaften linearer bzw. affiner Abbildungen oder widerlege mit einem Gegenbeispiel.

(a) Für jede umkehrbare lineare Abbildung α und jede Gerade g gilt: gα(g).

(b) Für jede umkehrbare affine Abbildung α gilt: Wenn gh für zwei Geraden g und h gilt, dann gilt auch α(g)α(h).

(c) Für jede umkehrbare affine Abbildung α gilt: α bildet jedes Rechteck auf ein Rechteck ab.

(d) Für jede umkehrbare affine Abbildung α gilt: α bildet jedes gleichschenklige Trapez auf ein gleichschenkliges Trapez ab.

(e) Für jede umkehrbare lineare Abbildung α gilt: α bildet jeden Kreis auf einen Kreis ab.

(f) Für jede umkehrbare affine Abbildung α gilt: Ist S der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Parallelogramm, so ist α(S) der Schnittpunkt der Diagonalen im Bild des Parallelogramms.

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