Übungen - Abbildung von Geraden
Aufgabe 1
Betrachte die Gerade
(a) Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.
t | |
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(b) Gib weitere Geradengleichung für
Aufgabe 2
Warum wird eine Gerade bei einer affinen Abbildung wieder auf eine Gerade abgebildet?
Zum Herunterladen: affineabbildung_einer_geraden.ggb
(a) Mache dir anhand des Applets folgende Zusammenhänge klar.
- Betrachte das (blau dargestellte) Ausgangsraster, das mit
und den Einheitsvektoren und aufgespannt wird. Mit der affinen Abbildung wird dieses (blau dargestellte) Ausgangsraster auf das (rot dargestellte) Bildraster abgebildet. Das Bildraster wird bei der vorgegebenen Abbildung mit und den Vektoren und aufgespannt. - Betrachte eine Gerade
, die durch die Punkte und verläuft. Hervorgehoben sind die (blau dargestellten) Rasterpunkte, die auf der Geraden liegen. Die zugehörigen Bildpunkte bei der affinen Abbildung liegen im (rot dargestellten) Bildraster – und das an genau den analogen Positionen: Die Rasterpunkte auf erhält man, indem man sich im blauen Raster jeweils um Einheiten in Richtung und Einheit in Richtung bewegt. Die Bilder dieser Rasterpunkte erhält man, indem man sich im roten Raster jeweils um Einheiten in Richtung und Einheit in Richtung bewegt. Die Bilder der Rasterpunkte liegen somit alle auf einer Geraden.
(b) Lies die Koordinaten der Punkte
(c) Bestimme die Bildpunkte
(d) Beschreibe die Gerade
(e) Beschreibe die Gerade
Aufgabe 3
Gegeben sind die Punkte Haus des Nikolaus
miteinander verbinden.
(a) Bestimme die Bildpunkte der Eckpunkte des Haus des Nikolaus
mit der folgenden affinen Abbildung.
(b) Zeichne das Haus des Nikolaus
und sein Bild bei der affinen Abbildung in ein Koordinatensystem (am besten mit den Farben blau und rot).
(c) Beschreibe jede Verbindungslinie des Streckenzugs
(d) Beschreibe ebenso jede Verbindungslinie des Streckenzugs
(e) Welche der Geraden in (c) sind parallel? Welche der Geraden in (d) sind parallel? Woran erkennt man das anhand der Geradengleichungen. Erstelle eine Übersicht, in der die Zusammenhänge erfasst werden.
Aufgabe 4
Wahr oder falsch? Untersuche die folgenden Aussagen. Begründe ggf. mit den Eigenschaften linearer bzw. affiner Abbildungen oder widerlege mit einem Gegenbeispiel.
(a) Für jede umkehrbare lineare Abbildung
(b) Für jede umkehrbare affine Abbildung
(c) Für jede umkehrbare affine Abbildung
(d) Für jede umkehrbare affine Abbildung
(e) Für jede umkehrbare lineare Abbildung
(f) Für jede umkehrbare affine Abbildung