Vertiefung
Zur Orientierung
Wir kombinieren hier lineare Abbildungen mit Verschiebungen. Ähnlich wie im letzten Abschnitt geht es darum, die Auswirkungen algebraischer Beschreibungen geometrisch zu deuten.
Abbildungen geometrisch deuten
Aufgabe 1 (★★)
Betrachte Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:
$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$
(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.
$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & \dots \\ x_2' & = & \dots \end{array}$
(b) Betrachte den Fall mit $a = 1$, $b = 0$, $c = 0$, $d = -1$ sowie $v_1 = 6$, $v_2 = 0$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.
$\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x} + \vec{v}}$
$\underbrace{\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x} + \vec{v}}$
$\underbrace{\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x} + \vec{v}}$
$\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x}} \rightarrow \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{A \cdot \vec{x} + \vec{v}}$
(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.
(d) Betrachte weitere Werte für $a, b, c, d$ sowie $v_1, v_2$. Kläre hierzu folgende Frage: Welchen Einfluss hat der Vektor $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ auf die Abbildung?
(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.
