Vertiefung

Ein Beispiel analysieren

Wir starten mit dem Beispiel aus dem Erkundungskapitel.

$\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$

Ziel ist es, für diese Abbildung die Umkehrabbildung zu ermitteln.

Im vorliegenden Fall ist es günstig, die Abbildung $\alpha$ in zwei Teilabbildungen $\alpha_1$ und $\alpha_2$ aufzuteilen:

$\alpha_1: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$\alpha_2: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$

Diese Aufteilung ist günstig, weil man die Umkehrabbildung $\alpha_1^{-1}$ bereits kennt und die Umkehrabbildung $\alpha_2^{-1}$ direkt angeben kann:

$\alpha_1^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$\alpha_2^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}$

Abbildung	Umkehrabbildung
Zuordnungsbeispiel: $\alpha: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 8 \\ 16 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_2}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$	Zuordnungsbeispiele: $\alpha^{-1}: \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_2^{-1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 8 \\ 16 \end{pmatrix} \stackrel{\alpha_1^{-1}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$
Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: $\begin{array}{llll} \alpha: & \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ & \quad\downarrow \alpha_1 \\ & \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ & \quad\downarrow \alpha_2 \\ & \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{array}$	Vektorgleichung als allgemeine Zuordnungsvorschrift: $\begin{array}{llll} \alpha^{-1}: & \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ & \quad\downarrow \alpha_2^{-1} \\ & \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix} \\ & \quad\downarrow \alpha_1^{-1} \\ & \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}\right] \end{array}$

Durch Umformen der Vektorgleichung erhält man folgende algebraische Darstellung von $\alpha^{-1}$:

$\begin{array}{llll} \alpha^{-1}: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix}\right] \\ & = & \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3.2 \\ 2.4 \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.2 \\ -2.4 \end{pmatrix} \end{array}$

Aufgabe 1

Mache dich nochmal mit den Überlegungen im Beispiel vertraut. Erläutere jeden einzelnen Argumentationsschritt.

Überlegungen verallgemeinern

Betrachte eine affine Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x} + \vec{v}$ mit einer umkehrbaren Abbildungsmatrix $A$.

Aufgabe 2

(a) Gehe analog zum Beispiel vor und zerlege $\alpha$ in Teilabbildungen $\alpha_1$ und $\alpha_2$:

$\alpha: \vec{x} \stackrel{\alpha_1}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha_2}{\longrightarrow} \dots$

(b) Leite analog zum Beispiel oben eine Vektorgleichung für $\alpha^{-1}$ her.

$\alpha^{-1}: \vec{x} \stackrel{\alpha_2^{-1}}{\longrightarrow} \dots \stackrel{\alpha_1^{-1}}{\longrightarrow} \dots$

(c) Zeige mit einer Umformung, dass $\alpha^{-1}$ ebenfalls eine affine Abbildung ist.

Ergebnisse zusammenfassen

Wir fassen das Ergebnis im folgenden Satz zusammen.