Erarbeitung

Algebraische Beschreibungen geometrisch deuten

Aufgabe 1 (★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Der Parameter $a$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & \dots \\ x_2' & = & \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $a = 2$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $a$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn $a$ einen Wert zwischen $0$ und $1$ hat?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $a$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $a$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: lineareabbildungen_a.ggb

Aufgabe 2 (★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Der Parameter $d$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & \dots \\ x_2' & = & \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $d = 2$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $d$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn $d$ einen Wert zwischen $0$ und $1$ hat?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $d$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $d$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: lineareabbildungen_d.ggb

Aufgabe 3 (★★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Der Parameter $b$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & \dots \\ x_2' & = & \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $b = 1$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $b$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn der Wert von $b$ vergrößert wird?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $b$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $b$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: lineareabbildungen_b.ggb

Aufgabe 4 (★★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Der Parameter $c$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

(a) Übersetze die Vektorgleichung zunächst in Koordinatengleichungen.

$\quad\begin{array}{lcl} x_1' & = & \dots \\ x_2' & = & \dots \end{array}$

(b) Betrachte den Fall $c = 1$. Bestimme für einige Punkte die zugehörigen Bildpunkte.

$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ -8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(c) Deute die Abbildung geometrisch. Beschreibe hierzu in Worten, was die Abbildung leistet.

(d) Betrachte weitere Werte für $c$. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn der Wert von $c$ vergrößert wird?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $c$ einen negativen Wert?
• Was leistet die Abbildung, wenn $c$ den Wert $0$ hat?

(e) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem folgenden Applet.

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Zum Herunterladen: lineareabbildungen_c.ggb

Aufgabe 5 (★★★)

Betrachte lineare Abbildungen mit folgender Abbildungsmatrix:

$\underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$

Die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ können jetzt beliebig variiert werden.

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Untersuche folgende Fragen:

• Wie wirkt es sich aus, wenn $b = 2a$ und $d = 2c$ gilt?
• Wie wirkt es sich aus, wenn $c = 0.5a$ und $d = 0.5b$ gilt?

Hast du eine Erklärung hierfür?