Überprüfung - Fixpunkte und Fixgeraden

Aufgabe 1

Betrachte als Abbildung eine Scherung.

Zum Herunterladen: scherung.ggb

Beurteile die folgenden Aussagen. Gib in den Eingabefeldern jeweils w (für wahr) oder f (für falsch) ein. Überprüfe die Aussagen anschließend im Applet.

Aussage	(w)ahr oder (f)alsch
Der Punkt $(0|0)$ ist ein Fixpunkt von $\alpha$.
Der Punkt $(0|1)$ ist ein Fixpunkt von $\alpha$.
Der Punkt $(1|0)$ ist ein Fixpunkt von $\alpha$.
Die $x$-Achse ist eine Fixpunktgerade von $\alpha$.
Die $y$-Achse ist eine Fixgerade von $\alpha$.
Die Gerade mit $y = 1$ ist eine Fixgerade von $\alpha$.
Die Gerade mit $y = x$ ist eine Fixgerade von $\alpha$.
$\alpha$ hat unendlich viele Fixpunkte.
$\alpha$ hat unendlich viele Fixgeraden.
$\alpha$ hat unendlich viele Fixpunktgeraden.

Aufgabe 2

Betrachte die affine Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Zum Herunterladen: fixgerade3.ggb

(a) Zeige rechnerisch, dass $P(2|1)$ ein Fixpunkt von $\alpha$ ist.

Zur Kontrolle

$\alpha: \begin{pmatrix} p_1' \\ p_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$

(b) Wie überprüft man, ob $\alpha$ weitere Fixpunkte hat. Beschreibe das Verfahren und führe es durch.

Zur Kontrolle

Fixpunktgleichung	$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}} = \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{\vec{x}}$
Koordinatengleichungen	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & + & 1 & = & x_1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & 2 & = & x_2 \end{array}$
LGS	$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & -x_2 & = & -1 \\ [2] &\quad -x_1 & & & = & -2 \end{array}$
Lösungen des LGS	$\begin{array}{lrrrcrcr} x_2 & = & 1 \\ x_1 & = & 2 \end{array}$
Fixpunkte	Es gibt genau einen Fixpunkt: $(2|1)$

Aufgabe 3

Betrachte die lineare Abbildung $\alpha: \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.

Zum Herunterladen: fixgerade3.ggb

Die Abbildungsmatrix $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ hat die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren:

Eigenwerte von $A$: $\lambda_1 = 0; \lambda_2 = 2$

Eigenvektoren von $A$:
$\begin{array}{llll} \lambda_1 = 0 & : & \vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \\ \lambda_2 = 2 & : & \vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & ; & r \neq 0 \end{array}$

Bestimme mit diesen Angaben die Fixgeraden von $\alpha$.

Zur Kontrolle

$\lambda_1 = 0$: Die zugehörigen Eigenvektoren $\vec{w}_1 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ können nicht als Richtungsvektoren einer Fixgerade verwendet werden, da sie auf den Nullvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ abgebildet werden.

$\lambda_2 = 2$: Die zugehörigen Eigenvektoren $\vec{w}_2 = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ können als Richtungsvektoren der Fixgerade $g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ verwendet werden.