Übungen - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen
Aufgabe 1
In den folgenden Teilaufgaben geht es darum, Abbildungen rechnerisch auszuführen und dann geometrisch zu deuten. Berechne zuerst die Bildpunkte. Versuche anhand der Koordinaten der betrachteten Ausgangs- und Bildpunkte die zugehörige geometrische Abbildung zu identifizieren. Überprüfe im Applet, indem du die Bildpunkte an die berechneten Stellen plazierst.
(a) Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Zuordnungstabelle:
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
| $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ |
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...
(b) Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Zuordnungstabelle:
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
| $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ |
| $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...
(c) Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Zuordnungstabelle:
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
| $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ |
| $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...
(d) Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Zuordnungstabelle:
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
| $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ |
| $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...
(e) Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Zuordnungstabelle:
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
| $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ |
| $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...
(f) Abbildung:
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Zuordnungstabelle:
| $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ |
| $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ | $\quad\downarrow$ |
| $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Geometrische Deutung: Bei der Abbildung handelt es sich um ...
Aufgabe 2
Gegeben ist eine Ausgangsfigur mit den Eckpunkten $A(-1|-1)$, $B(1|-1)$, $C(2|1)$ und $D(-2|1)$. Die Ausgangsfigur soll gestreckt werden. Das Streckzentrum ist der Koordinatenursprung.
(a) Betrachte das Streckfaktor $k = 3$. Berechne die zugehörigen Bildpunkte. Überprüfe deine Ergebnisse zeichnerisch.
(b) Betrachte das Streckfaktor $k = -0.5$. Berechne die zugehörigen Bildpunkte. Überprüfe deine Ergebnisse zeichnerisch.
Aufgabe 3
Für Drehungen um den Koordinatenursprung gelten folgende Formeln:
Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den Ursprung mit dem Drehwinkel $\alpha$
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
(a) Betrachte den Drehwinkel $\alpha = 180°$. Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).
(b) Betrachte den Drehwinkel $\alpha = 90°$. Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).
Aufgabe 4
Für Spiegelungen an Ursprungsgeraden gelten folgende Formeln:
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, die den Winkel $\alpha$ mit der $x$-Achse einschließt
$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
(a) Betrachte den Winkel $\alpha = 90°$. Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).
(b) Betrachte den Drehwinkel $\alpha = 45°$. Vereinfache die Formeln für diesen Spezialfall. Vergleiche mit bereits bekannten Formeln (siehe Aufgabe 1).
