Zusammenfassung - Algebraische Beschreibung geometrischer Abbildungen
Die Grundidee
Geometrische Abbildungen werden in sehr vielen Computerprogrammen verwendet, um grafische Effekte zu erzielen. So erfolgt z.B. das Drehen einer Ansicht oder das Spiegeln eines Bildausschnitts mit Hilfe geeigneter Abbildungen. Die Abbildungen werden dabei rechnerisch ausgeführt. Damit das möglich ist, werden die geometrischen Objekte in ein Koordinatensystem eingebettet, so dass ihre Lage mit Hilfe von Zahlen als Koordinaten beschrieben werden kann. Das folgende GeoGebra-Applet verdeutlicht diesen algebraischen-rechnerischen Ansatz zur Durchführung geometrischer Abbildungen.
Zum Herunterladen: abbildungen_geometrisch_algebraisch.ggb
Abbildung von Punkten
Wir betrachten vorerst geometrische Abbildungen in der 2-dimensionalen Ebene. Die Ausweitung auf Abildungen im 3-dimensionalen Raum erfolgt im Kapitel ....
Wir verwenden im Folgenden eine vektorielle Darstellung von Punkten – d.h. wir beschreiben sie mit Hilfe von Zahlentupeln. Der Punkt $A(a_1|a_2)$ wird mit dem Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ dargestellt. So wird im Applet oben der Punkt $A(6|-4)$ mit dem Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ dargestellt. Mit beiden Schreibweisen (der Punktschreibweise $A(6|-4)$ und der Vektorschreibweise $\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$) wird demnach derselbe Punkt beschrieben.
Eine geometrische Abbildung (in der Ebene) ordnet jedem Punkt $X$ der Ebene einen Bildpunkt $X'$ zu. Wenn man die Punkte $X$ und $X'$ vektoriell beschreibt, dann ordnet eine geometrische Abbildung jedem Ausgangsvektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ (mit reellen Zahlen $x_1$ und $x_2$) einen Bildvektor $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$ zu.
Die Darstellung von Punkten mit Hilfe von Koordinaten ermöglicht es bei den gängigen Abbildungen, diese mit Hilfe von Gleichungen oder Vektorgleichungen zu beschreiben. Wir verdeutlichen das – passend zum Applet oben – am Beispiel der Spiegelung an der $y$-Achse.
Beispiel: Spiegelung an der $y$-Achse
Algebraische Beschreibung – koordinatenweise mit Hilfe von Gleichungen
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}\quad$ mit
$\quad\begin{array}{lcl}
x_1' & = & -x_1 \\
x_2' & = & x_2
\end{array}$
Algebraische Beschreibung – mit Hilfe einer Vektorgleichung
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}\quad$ mit
$\quad
\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
Spiegelungen – algebraisch dargestellt
Die folgende Übersicht zeigt, wie man Spiegelungen an Geraden algebraisch beschreiben kann. In den Applets kannst du den Punkt $X$ hin und her bewegen.
| Abbildung | Beschreibung mit Gleichungen | Beschreibung mit einer Matrix |
|---|---|---|
|
Spiegelung an der $x$-Achse: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & x_1 \\ x_2' & = & & -x_2 \end{array}$ |
Spiegelung an der $x$-Achse: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
|
|
Spiegelung an der $y$-Achse: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & -x_1 \\ x_2' & = & & x_2 \end{array}$ |
Spiegelung an der $y$-Achse: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
|
|
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & & x_2 \\ x_2' & = & x_1 & \end{array}$ |
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
|
|
Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & & -x_2 \\ x_2' & = & -x_1 & \end{array}$ |
Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
|
|
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & cos(2\alpha) \cdot x_1 \\ & & + sin(2\alpha) \cdot x_2 \\ x_2' & = & sin(2\alpha) \cdot x_1 \\ & & - cos(2\alpha) \cdot x_2 \end{array}$ |
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
Drehungen – algebraisch dargestellt
Die folgende Übersicht zeigt, wie man Drehungen mit dem Ursprung als Drehzentrum algebraisch beschreiben kann. In den Applets kannst du den Punkt $X$ hin und her bewegen.
| Abbildung | Beschreibung mit Gleichungen | Beschreibung mit einer Matrix |
|---|---|---|
|
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $90°$: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & & -x_2 \\ x_2' & = & x_1 \end{array}$ |
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
|
|
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $180°$: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & -x_1 \\ x_2' & = & & -x_2 \end{array}$ |
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
|
|
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & cos(\alpha) \cdot x_1 \\ & & - sin(\alpha) \cdot x_2 \\ x_2' & = & sin(\alpha) \cdot x_1 \\ & & + cos(\alpha) \cdot x_2 \end{array}$ |
Drehung um den Drehpunkt $(0|0)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
Streckungen – algebraisch dargestellt
Die folgende Übersicht zeigt, wie man Streckungen mit dem Ursprung als Streckzentrum algebraisch beschreiben kann. In den Applets kannst du den Punkt $X$ hin und her bewegen.
| Abbildung | Beschreibung mit Gleichungen | Beschreibung mit einer Matrix |
|---|---|---|
|
Streckung mit dem Streckzentrum $(0|0)$ und dem Streckfaktor $k$: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & k \cdot x_1 \\ x_2' & = & & k \cdot x_2 \end{array}$ |
Streckung mit dem Streckzentrum $(0|0)$ und dem Streckfaktor $k$: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $ |
Verschiebungen – algebraisch dargestellt
Die folgende Übersicht zeigt, wie man Verschiebungen algebraisch beschreiben kann. In den Applets kannst du den Punkt $X$ hin und her bewegen.
| Abbildung | Beschreibung mit Gleichungen | Beschreibung mit einer Matrix |
|---|---|---|
|
Verschiebung um $v_x$ in $x$-Richtung und $v_y$ in $y$-Richtung: $\quad\begin{array}{lcll} x_1' & = & x_1 &+& v_x \\ x_2' & = & x_2 &+& v_y \end{array}$ |
Verschiebung um $v_x$ in $x$-Richtung und $v_y$ in $y$-Richtung: $\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} $ |
