Wiederholung - Ableitungsfunktion
Die Grundidee
Die Grundidee lässt sich anhand des folgenden Applets klarmachen.
Zum Herunterladen: ableitungsfunktion3.ggb
Vorgegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$. Für jede reelle Zahl $x$ kann man die Ableitung $f'(x)$ bestimmen. Die Ableitungsfunktion ordnet jeder reellen Zahl $x$ die Ableitung $f'(x)$ zu. Der Graph dieser Ableitungsfunktion $f'$ ist im Applet im unteren Fenster zu sehen.
Aufgabe 1
Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
(a) Ergänze die Wertetabelle.
| $x$ | $\dots$ | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | $\dots$ |
| $f'(x)$ | 2 |
(b) Bestätige mit Hilfe der Wertetabelle die Vermutung, dass man die Funktion $f'$ mit der folgenden Funktionsgleichung beschreiben kann: $f'(x) = 2x$.
Ableitungsfunktionen
Die Grundidee lässt sich so präzisieren.
Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion $f'$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$-Wert aus der Definitionsmenge von $f$, an dem die Ableitung $f'(x)$ existiert, diesem Ableitungswert zu.
Beispiel
Für die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x) = 2x$.
$\begin{array}{cl} f(x) = x^2 & \text{Ausgangsfunktion}\\ \Downarrow & \text{Ableiten} \\ f'(x) = 2x & \text{Ableitungsfunktion} \end{array}$
Ableiten als Operator
Der Begriff Ableiten
wird benutzt, um den Vorgang zu einer Ausgangsfunktion die Ableitungsfunktion bestimmen
zu beschreiben.
Statt „Ableiten“ benutzt man synonym auch den Begriff „Differenzieren“.
Man kann das Ableiten als Operator deuten: Ableiten ordnet einer differnzierbaren Funktion $f$ die zugehörige Ableitungsfunktion $f'$ zu. Man beschreibt diesen Operator (der einer Funktion eine Funktion zuordnet) mit dem $'$-Symbol:
$\displaystyle{': f \rightarrow f'}$
Oft wird dieser Operator auch mit dem Symbol $\displaystyle{\frac{d}{dx}}$ (gesprochen: d nach dx
) dargestellt:
$\displaystyle{\frac{d}{dx}}: f \rightarrow f'$
