Zusammenfassung – Schwingungen
Schwingende Systeme
Eine Schwingung entsteht, wenn ein System aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird. Danach wirken rücktreibende Kräfte oder Mechanismen, die es immer wieder zur Ruhelage zurückführen. Dabei überschießt es diese Ruhelage meist – und es entsteht ein Hin- und Her. Diese informelle Beschreibung lässt sich so präzisieren:
Schwingung
Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Änderung einer physikalischen Größe oder eine periodische Bewegung eines Systems um einen stabilen Gleichgewichtszustand, die durch rücktreibende Kräfte aufrechterhalten wird.
Schwingende Systeme begegnen uns uns überall in unserer Lebenswelt: eine schwingende Schaukel, eine schwingende Gitarrensaite, Luft beim Sprechen, Wechselstrom, Herzschlag, Ebbe und Flut usw.. Wir betrachten hier nur sehr einfache schwingende Systeme. Ziel ist es, die Bewegung des schwingenden Körpers mathematisch zu beschreiben.
Harmonische Schwingungen
Als einfaches Beispiel betrachten wir einen Schwingungsvorgang, der durch eine Projektion einer Kreisbewegung entsteht. Das Applet simuliert diesen Schwingungsvorgang.
Zum Herunterladen: kreisbewegungschwingung.ggb
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Ein Punkt $P$ bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf einem Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und dem Radius $r$.
Der Punkt $P$ wird mit waagerechtem Licht auf einen Schirm projiziert. Auf den Schirm sieht man den Schatten $S$ des Punktes $P$.
Der Schatten $S$ bewegt sich periodisch auf und ab und kommt dabei immer wieder an einer
Nulllage
vorbei (im Applet hellgrau dargestellt). Der Schatten führt eine Schwingung aus. - Die Periodendauer $T$ der Schwingung entspricht der Umlaufdauer der Kreisbewegung. Es gilt also $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
- Die momentane Auslenkung $s(t)$ der Schwingung entspricht der $y$-Koordinate des Punktes $P$. Sie beschreibt den (gerichteten) Abstand zur Nulllage. Die Nulllage wird auch Ruhelage genannt. Die maximale Auslenkung $\hat{s}$ entspricht dem Kreisradius $r$. Sie wird auch Amplitude der Schwingung genannt.
Schwingungsvorgänge, die man auf diese Weise simulieren kann, werden harmonisch genannt.
Harmonische Schwingung
Wenn die Bewegung eines schwingenden Körpers mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung übereinstimmt, dann handelt es sich um eine harmonische Schwingung.
Das Applet verdeutlicht, wie man die Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ einer harmonischen Schwingung erhält. Mit $v(t) = s'(t)$ und $a(t) = s''(t)$ erhält man durch Ableiten der Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion $v(t)$ und die Zeit-Beschleunigung-Funktion $a(t)$. Man erhält so folgende Bewegungsgesetzte für eine harmonische Schwingung.
Bewegungsgesetze einer harmonische Schwingung
Eine harmonische Schwingung lässt sich mit folgenden Funktionen beschreiben:
- Zeit-Weg-Funktion: $s(t) = \hat{s} \cdot \sin(\omega t + \varphi)$
- Zeit-Geschwindigkeit-Funktion: $v(t) = \omega \cdot \hat{s} \cdot \cos(\omega t + \varphi)$
- Zeit-Beschleunigung-Funktion: $a(t) = -\omega^2 \cdot \hat{s} \cdot \sin(\omega t + \varphi)$
Die Zeit-Weg-Funktion erfüllt die Differentialgleichung $s''(t) = -\omega^2 \cdot s(t)$.
Aus physikalischer Sicht spielen Kräfte bei der Beschreibung von Schwingungen eine zentrale Rolle.
Bei einer Schwingung wird der schwingende Körper ständig beschleunigt und abgebremst. Die Ursache hierfür ist eine auf den Körper wirkende Kraft $F$. Im Applet wird diese Kraft mit einem blauen Pfeil dargestellt.
Zum Herunterladen: kraftschwingung.ggb
Nach dem Newtonschen Kraftgesetz gilt $F(t) = m \cdot a(t)$: Wenn der Körper die Masse $m$ hat, dann bewirkt die momentane Kraft $F(t)$ eine momentane Beschleunigung $a(t)$ mit $F(t) = m \cdot a(t)$.
Für die momentane Beschleunigung einer harmonischen Schwingung gilt $a(t) = s''(t) = -\omega^2 \cdot s(t)$. Bei einer harmonischen Schwingung gilt also für die auftretenden Kräfte $F(t) = - m \cdot \omega^2 \cdot s(t)$. Das heißt, dass die momentane Kraft proportional zur momentanen Auslenkung ist und (wegen des Minuszeichens) immer in Richtung der Ruhelage wirkt.
Umgekehrt gilt auch: Wenn eine Kraft auf einen Körper immer proportional zur momentanen Auslenkung ist und in Richtung einer Ruhelage wirkt, dann führt der Körper eine harmonische Schwingung aus.
