Vertiefung – Herleitung
Zur Orientierung
Wie leitet man ein Produkt von Funktionen ab? Im letzten Abschnitt hast du eine Regel experimentell bestimmt. In diesem Abschnitt wird diese Regel argumentativ nachgewiesen. Bei der Herleitung greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Eine Regel herleiten
Diese Regel zum Ableitung eines Produkts von Funktionen soll hergeleitet werden.
Produktregel
$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Aufgabe 1
In einem ersten Schritt wird der Term zur mittleren Änderungsrate $m_{u \cdot v}(x,x+h)$ geeignet umgeformt. Die (teils trickreichen) Umformungen sind in der Übersicht unten vorgegeben. Kommentiere jede Umformung, z.B. so:
- (1) Die Definition der mittleren Änderungsrate wird auf die Produktfunktion $u \cdot v$ angewandt.
- (2) ...
- (3) ...
- (4) ...
- (5) ...
- (6) ...
| mittl. Änderungsr. | umgeformter Term | ||
|---|---|---|---|
| (1) | $m_{u \cdot v}(x, x+h)$ | $=$ | $\displaystyle{\frac{(u \cdot v)(x+h)-(u \cdot v)(x)}{h}}$ |
| (2) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(x+h) \cdot v(x+h)-u(x) \cdot v(x)}{h}}$ | |
| (3) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(x+h) \cdot v(x+h)-u(x) \cdot v(x+h)+u(x) \cdot v(x+h)-u(x) \cdot v(x)}{h}}$ | |
| (4) | $=$ | $\displaystyle{\frac{[u(x+h)-u(x)] \cdot v(x+h) + u(x) \cdot [v(x+h)-v(x)]}{h}}$ | |
| (5) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(x+h)-u(x)}{h} \cdot v(x+h) + u(x) \cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}$ | |
| (6) | $=$ | $m_{u}(x,x+h) \cdot v(x+h) + u(x) \cdot m_{v}(x,x+h)$ |
Aufgabe 2
(a) In einem zweiten Schritt wird der Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchgeführt. Erkläre die folgende Übersicht.
$\begin{array}{lclclclcl} m_{u \cdot v}(x,x+h) & = & m_{u}(x,x+h) & \cdot & v(x+h) & + & u(x) & \cdot & m_{v}(x,x+h) \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0\\ (u \cdot v)'(x) & = & u'(x) & \cdot & v(x) & + & u(x) & \cdot & v'(x) \end{array}$
(b) An welchen Stellen wird in der Argumentation vorausgesetzt, dass die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind? Erläutere dies kurz.
Die Regel präzise formulieren
Mit den Argumentationen erhält man jetzt die folgende Regel zum Ableiten von Produkten von Funktionen.
Produktregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ in einem Intervall $I$ differenzierbar sind, dann ist auch die Produktfunktion $u \cdot v$ im Intervall $I$ differenzierbar und es gilt:
$(u \cdot v)'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Kurz: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Aufgabe 3
Ergänze das Beispiel zur Verdeutlichung der Produktregel.
Beispiel
$f(x) = \underbrace{x^2}_{u(x)} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)}$
$f'(x) = $
