Ableitung der sin- und cos-Funktion
Die sin- und cos-Funktion
Mache dich mit Hilfe des Applets nochmal mit der Sinus- und Kosinusfunktion vertraut. Bearbeite auch die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: sincos.ggb
Aufgabe 1
(a) Erläutere die folgenden Aussagen anhand des Applets unter der Aufgabe.
- Mit dem Winkel $\alpha$ kann man die Lage des Punktes $P$ auf dem Einheitskreis festlegen.
- Mit $x$ wird das Bogenmaß zum Winkel $\alpha$ beschrieben.
- $\sin(x)$ beschreibt die $y$-Koordinate des Punktes $P$.
- $\cos(x)$ beschreibt die $x$-Koordinate des Punktes $P$.
(b) Ergänze die Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion.
| $x$ | $0$ | $\frac{1}{2}\pi$ | $\pi$ | $\frac{3}{2}\pi$ | $2\pi$ |
| $\sin(x)$ | |||||
| $\cos(x)$ |
Ableitung der sin-Funktion
Im folgenden Applet wird die Ableitungsfunktion zur sin-Funktion grafisch erzeugt. Wenn man den roten Punkt auf der $x$-Achse hin un her bewegt, dann wird die Steigung (der Tangente) im zugehörigen Punkt mit einem Punkt im unteren Koordinatensystem angezeigt.
Zum Herunterladen: ableitungsin.ggb
Aufgabe 2
Verdeutliche mit Hilfe des Applets den folgenden Zusammenhang.
Ableitungsregel für die Sinusfunktion
Wenn $f(x) = \sin(x)$, dann gilt $f'(x) = \cos(x)$.
Kurz: $\sin' = \cos$
Ableitung der cos-Funktion
Im folgenden Applet wird analog die Ableitungsfunktion zur cos-Funktion grafisch erzeugt. Wenn man den roten Punkt auf der $x$-Achse hin un her bewegt, dann wird die Steigung (der Tangente) im zugehörigen Punkt mit einem Punkt im unteren Koordinatensystem angezeigt.
Zum Herunterladen: ableitungcos.ggb
Aufgabe 3
Verdeutliche mit Hilfe des Applets den folgenden Zusammenhang.
Ableitungsregel für die Kosinusfunktion
Wenn $g(x) = \cos(x)$, dann gilt $g'(x) = -\sin(x)$.
Kurz: $\cos' = -\sin$
Hinweis
Die hier durch grafisches Ableiten erzielten Ergebnisse gelten tatsächlich. Die Beweise sind schwierig, wir verzichten daher darauf.
Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungsfunktionen herstellt.
Aufgabe 4
Begründe: Die sin-Funktion $f(x) = \sin(x)$ und die cos-Funktion $f(x) = \cos(x)$ erfüllen die Differentialgleichung $f'' = -f$.
