Beispiel 1

Aufgabe

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$. Das Applet zeigt den Graph dieser Funktion und einen Punkt $P(a|f(a))$ auf diesem Graph.

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(a) Betrachte zunächst den Fall $a = 1$. Bestimme eine Funktionsgleichung für die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$. Bestimme dann die Schnittpunkte $X$ und $Y$ dieser Tangente mit den Koordinatenachsen. Diese Schnittpunkte bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung ein rechtwinkliges Dreieck. Bestimme auch den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(b) Betrachte jetzt einen beliebigen Punkt $P(a|f(a))$ mit $a > 0$. Gehe analog zu Teilaufgabe (a) vor. Zeige, dass das Dreieck (aus dem Ursprung und den Schnittpunkten der Koordinatenachsen) immer den Flächeninhalt $A = 2$ hat.

(c) Betrachte die verallgemeinerte Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{k}{x}}$ mit einem Parameter $k > 0$. Wie muss man $k$ einstellen, so dass das Dreieck (aus dem Ursprung und den Schnittpunkten der Koordinatenachsen) immer denselben Flächeninhalt $A = 1$ hat? Leite den Wert für $k$ her.

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