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Zusammenfassung – Umkehrung von Funktionen

Die Grundidee

Eine Firma stellt würfelförmige Wassertanks her. Bisher hat sie für die Wassertanks eine Würfelkantenlänge von $1$ Meter vorgesehen. Das ergibt dann ein Wasservolumen von $1$ Kubikmeter. Künftig will das Unternehmen auch Wassertanks für andere Wasservolumina herstellen, z.B. für ein Asservolumen von $5$ Kubikmeter.

Für die Berechnung des Volumens aus der Würfelkantenlänge $x$ benutzt man die Volumenfunktion $f$ mit $f(x) = x^3$. Wenn man umgekehrt aus einem vorgegebenen Volumen die zugehörige Würfelkantenlänge bestimmen möchte, dann gelingt das am einfachsten, wenn man über die Umkehrzuordnung zur Volumenfunktion $f$ verfügt. Im folgenden Applet kann man für diesen Zweck die Schaltfläche [Zuordnung umkehren] aktivieren.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion1.ggb

Umkehrung einer Zuordnung

Wir betrachten weiterhin $f$ die Funktion $f : x \rightarrow y$ mit $y = x^3$ (jetzt mit der Definitionsmenge $-\infty \lt x \lt \infty$). Ziel ist es, die Umkehrzuordnung zur Funktion $f$ genauer zu beschreiben.

Die folgende Übersicht zeigt, wie man zur Beschreibung der Umkehrzuordnung $f^{-1}$ zur Ausgangsfunktion $f$ gelangt.

Ausgangsfunktion als Zuordnung	Umkehrung der Zuordnung	Spiegelung der Umkehrzuordnung
$f : x \rightarrow y$	$f^{-1} : y \rightarrow x$	$f^{-1} : x \rightarrow y$
$\begin{array}{c\|c\|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ -1 & \rightarrow & -1 \\ 0 & \rightarrow & 0 \\ 1 & \rightarrow & 1 \\ 2 & \rightarrow & 8 \\ 3 & \rightarrow & 27 \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c\|c\|c} x & \leftarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ -1 & \leftarrow & -1 \\ 0 & \leftarrow & 0 \\ 1 & \leftarrow & 1 \\ 2 & \leftarrow & 8 \\ 3 & \leftarrow & 27 \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c\|c\|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ -1 & \rightarrow & -1 \\ 0 & \rightarrow & 0 \\ 1 & \rightarrow & 1 \\ 8 & \rightarrow & 2 \\ 27 & \rightarrow & 3 \\ \dots & & \dots \end{array}$
$y = x^3$	$x = \sqrt[3]{y}$	$y = \sqrt[3]{x}$

Im folgenden Applet wird das Vorgehen verdeutlicht.

Schritt 1: Die Zuordnungen $x \rightarrow y = x^3$ werden umgekehrt in $y \rightarrow x = \sqrt[3]{y}$. Im Applet werden zur Verdeutlichung die Zuordnungspfeile umgekehrt.
Schritt 2: Die Rollen von $x$ und $y$ werden vertauscht: Aus $y \rightarrow x = \sqrt[3]{y}$ erhält man $x \rightarrow y = \sqrt[3]{x}$. Im Applet zeigt sich die Vertauschung durch eine Spiegelung der Zuordnungen an der 1. Winkelhalbierenden.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion2.ggb

Beachte, dass dieser Umkehrungsprozess nicht immer problemlos möglich ist. Betrachte hierzu die im nächsten Applet vorgegebene Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.

Wenn man bei dieser Funktion die Schaltfläche [Zuordnung umkehren] aktiviert, erhält man keine Zuordnungspfeile. Die werden hier nicht angezeigt, weil die Umkehrzuordnung nicht eindeutig ist.

Im unteren Fenster kann man die Definitionsmenge der betrachteten Funktion bearbeiten. Wenn man die Definitionsmenge für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ auf $0 \leq x \lt \infty$ einschränkt, dann erhält man eine Funktion, deren Umkehrzuordnung eindeutig ist.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion3.ggb

Für diese eingeschränkte Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und $0 \leq x \leq \infty$ kann man jetzt die eindeutige Umkehrzuordnung wie folgt beschreiben.

Ausgangsfunktion als Zuordnung	Umkehrung der Zuordnung	Spiegelung der Umkehrzuordnung
$f : x \rightarrow y$	$f^{-1} : y \rightarrow x$	$f^{-1} : x \rightarrow y$
$\begin{array}{c\|c\|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ 0 & \rightarrow & 0 \\ 1 & \rightarrow & 1 \\ 2 & \rightarrow & 4 \\ 3 & \rightarrow & 9 \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c\|c\|c} x & \leftarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ 0 & \leftarrow & 0 \\ 1 & \leftarrow & 1 \\ 2 & \leftarrow & 4 \\ 3 & \leftarrow & 9 \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c\|c\|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ 0 & \rightarrow & 0 \\ 1 & \rightarrow & 1 \\ 4 & \rightarrow & 2 \\ 9 & \rightarrow & 3 \\ \dots & & \dots \end{array}$
$y = x^2$	$x = \sqrt{y}$	$y = \sqrt{x}$

Präzisierung der Fachbegriffe

Die bereits informell benutzten Begriffe werden in der Definition präzisiert.

Umkehrung von Funktionen

Eine Funktion $f : x \rightarrow y$ heißt umkehrbar genau dann, wenn die zu $f$ gehörende Umkehrzuordnung $y \rightarrow x$ eindeutig ist. D.h.: zu jeden $y$-Wert aus der Wertemenge von $f$ gibt es genau einen $x$-Wert mit $f(x) = y$. Am Funktionsgraphen von $f$ sieht man das so: Jede Parallele zur $x$-Achse schneidet Graph $f$ höchstens einmal.

Wenn $f$ umkehrbar ist, dann liefert die Umkehrkehrzuordnung ebenfalls eine Funktion. Man nennt sie Umkehrfunktion zur Ausgangsfunktion $f$ und beschreibt sie mit dem Symbol $f^{-1}$.

Die Beispiele illustieren diese Fachbegriffe.

Beispiel 1

Gegeben ist $f$ mit $f(x) = x^3$, wobei $x$ für eine beliebige reelle Zahl steht.

Die Umkehrzuordnung $y = x^3 \rightarrow x$ ist eindeutig, die Funktion $f$ ist daher umkehrbar.

Für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ erhält man $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$.

Beispiel 2

Gegeben ist $f$ mit $f(x) = x^2$, wobei $x$ für eine beliebige reelle Zahl steht.

Die Umkehrzuordnung $y = x^2 \rightarrow x$ ist für die vorgegebene Definitionsmenge nicht eindeutig. Die Ausgangsfunktion $f$ ist daher für die vorgegebene Definitionsmenge nicht umkehrbar.

Wenn man die Definitionsmenge auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen einschränkt, dann ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ umkehrbar und es gilt $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Umkehrfunktionen zu Basisfunktionen

Zu vielen Basisfunktionen gibt es Umkehrfunktionen mit eigenen Bezeichnern.

Die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen sind die Wurzelfunktionen. Die solltest du kennen.
Die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen sind die Logarithmusfunktionen. Hier reicht es in der Regel, wenn du die $\ln$-Funktion kennst.
Auch zu den trigonometrischen Funktionen gibt es passende Umkehrfunktionen. Die musst du aber nicht kennen.

Ausgangsfunktion	Funktionsgraphen	Umkehrfunktion
$f(x) = x^2$; $0 \le x \lt \infty$		$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$; $0 \le x \lt \infty$
$f(x) = x^3$; $-\infty \lt x \lt \infty$		$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$; $-\infty \lt x \lt \infty$
$f(x) = e^x$; $-\infty \lt x \lt \infty$		$f^{-1}(x) = \ln(x)$; $0 \lt x \lt \infty$
$f(x) = \sin(x)$; $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$		$f^{-1}(x) = \arcsin(x)$; $-1 \le x \le 1$

Bestimmung von Umkehrfunktionen

Wenn eine komplexere Funktion aus Basisfunktionen zusammengesetzt ist, dann kann man die zugehörige Umkehrfunktion in der Regel durch eine Umformen der Funktionsgleichung der betrachteten Ausgangsfunktion bestimmen.

Beispiel 3

Gegeben die Funktion $f$ mit $f(x) = -0.5x + 2$ mit $-\infty \leq x \le \infty$.
Gesucht ist eine Funktionsgleichung für die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$.

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Die vorgegebene Funktion $f$ ist umkehrbar, da der Graph eine Gerade ist, die nicht parallel zur $x$-Achse verläuft. Zu jedem $y$-Wert gibt es daher einen eindeutig bestimmten $x$-Wert. Die Funktionsgleichung erhält man mit folgenden Umformungen.

Schritt 1: Die Funktionsgleichung von $f$ nach $x$ auflösen

$\begin{array}{lcl} y & = & -0.5x + 2 \\ y-2 & = & -0.5x \\ -2(y-2) & = & x \\ -2y+4 & = & x \end{array}$

Schritt 2: Die Rollen von $x$ und $y$ vertauschen

$y = -2x+4$

Schritt 3: Die Umkehrfunktion mit ihrer Definitionsmenge beschreiben

$f^{-1}(x) = -2x+4$ mit $-\infty \lt x \lt \infty$

Beispiel 4

Gegeben die Funktion $f$ mit $f(x) = (x+2)^2 + 1$ mit $-2 \leq x \le \infty$.
Gesucht ist eine Funktionsgleichung für die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion5.ggb

Der Funktionsgraph zeigt, dass die Funktion $f$ (mit der vorgegebenen Definitionsmenge) umkehrbar ist. Die Funktionsgleichung erhält man mit folgenden Umformungen.