Erarbeitung – Experimente
Zur Orientierung
Wie leitet man ein Produkt von Funktionen ab? Diese Frage kannst du hier experimentell klären.
Eine Regel experimentell bestimmen
Benutze zum Experimentieren das folgende Applet. Bearbeite hierzu die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: produktregel.ggb
Aufgabe 1
(a) Im Applet sind zwei Beispielfunktionen $u$ und $v$ vorgegeben. Das Applet zeigt auch, wie man die Ableitung der Produktfunktion $u \cdot v$ bildet. Analysiere das Beispiel. Beschreibe, wie man die Ableitungsfunktion $(u \cdot v)'$ erhält.
(b) In der Tabelle sind weitere Beispielfunktionen vorgegebenen. Erstelle jeweils zunächst eine Vermutung über die Ableitungsfunktion $(u \cdot v)'$ auf. Überprüfe die Vermutung im Applet. Beachte, dass im Applet der Funktionsterm $(u \cdot v)'(x)$ eventuell umgestellt oder vereinfacht wird.
| $u$ | $v$ | $(u \cdot v)'$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $u(x) = x^2$ | $v(x) = \sin(x)$ | $(u \cdot v)'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$ |
| (2) | $u(x) = x^3$ | $v(x) = \sin(x)$ | $(u \cdot v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
| (3) | $u(x) = x$ | $v(x) = \cos(x)$ | $(u \cdot v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
| (4) | $u(x) = e^x$ | $v(x) = x^2$ | $(u \cdot v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
| (5) | $u(x) = \sin(x)$ | $v(x) = \cos(x)$ | $(u \cdot v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
| (6) | $u(x) = x^3$ | $v(x) = x^4$ | $(u \cdot v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
Aufgabe 2
Formuliere eine allgemeine Regel zum Ableiten von Produkten von Funktionen.
Produktregel
Wenn $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, dann gilt $f'(x) = \dots$.
Kurz: $(u \cdot v)' = \dots$
