Erarbeitung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt geht es um den Zusammenhang zwischen Kreisbewegungen und Schwingungen.
Schwingungen modellieren
Das Applet simuliert den Versuch aus dem letzten Abschnitt. Probiere das selbst aus.
Zum Herunterladen: kreisbewegungschwingung.ggb
Sicher hast du folgende Phänomene beobachtet:
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Ein Punkt $P$ bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf einem Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und dem Radius $r$.
Der Punkt $P$ wird mit waagerechtem Licht auf einen Schirm projiziert. Auf den Schirm sieht man den Schatten $S$ des Punktes $P$.
Der Schatten $S$ bewegt sich periodisch auf und ab und kommt dabei immer wieder an einer
Nulllage
vorbei (im Applet hellgrau dargestellt). Der Schatten führt eine Schwingung aus. - Die Schingungsdauerdauer bzw. Periodendauer $T$ der Schwingung entspricht der Umlaufdauer der Kreisbewegung. Es gilt also $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
- Die momentane Auslenkung $s(t)$ der Schwingung entspricht der $y$-Koordinate des Punktes $P$. Sie beschreibt den (gerichteten) Abstand zur Nulllage. Die Nulllage wird auch Ruhelage genannt. Die maximale Auslenkung $\hat{s}$ entspricht dem Kreisradius $r$. Sie wird auch Amplitude der Schwingung genannt.
Harmonische Schwingung
Wenn die Bewegung eines schwingenden Körpers mit der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung übereinstimmt, dann handelt es sich um eine harmonische Schwingung.
Aufgabe 1
Begründe die folgenden Bewegungsgesetze für harmonische Schwingungen.
Bewegungsgesetze einer harmonische Schwingung
Eine harmonische Schwingung lässt sich mit folgenden Funktionen beschreiben:
- Zeit-Weg-Funktion: $s(t) = \hat{s} \cdot \sin(\omega t + \varphi)$
- Zeit-Geschwindigkeit-Funktion: $v(t) = \omega \cdot \hat{s} \cdot \cos(\omega t + \varphi)$
- Zeit-Beschleunigung-Funktion: $a(t) = -\omega^2 \cdot \hat{s} \cdot \sin(\omega t + \varphi)$
Die Zeit-Weg-Funktion erfüllt die Differentialgleichung $s''(t) = -\omega^2 \cdot s(t)$.
Aufgabe 2
Betrachte eine harmonische Schwingung mit $s(t) = 3 \sin(t)$. Kläre folgende Fragen:
- Wo befindet sich der schwingende Körper zum Zeitpunkt $t = 0$?
- In welche Richtung bewegt sich der schwingende Körper zum Zeitpunkt $t = 0$?
- Zu welchen Zeitpunkten ist die momentane Auslenkung des Körpers betragsmäßig maximal?
- Zu welchen Zeitpunkten ist die momentane Geschwindigkeit des Körpers betragsmäßig maximal?
- Zu welchen Zeitpunkten ist die momentane Beschleunigung des Körpers betragsmäßig maximal?
Aufgabe 3
Betrachte den folgenden Fall einer harmonischen Schwingung:
Die Schwingung erfolgt so, dass der Körper sich zum Zeitpunkt $t = 0$ in der Ruhelage befindet und sich anschließend
in eine negative
Auslenkungsrichtung bewegt.
Wie muss man die Bewegungsgesetze jetzt anpassen?
