Zusammenfassung – Beschreibung von Kreisbewegungen
Beschreibung von Kreisbewegungen
Im folgenden Applet kann man mit der Schaltfläche [$\triangleright$] eine Kreisbewegung starten. Mit der Schaltfläche [$\circ$] kann man die Ausgangssituation wieder herstellen.
Zum Herunterladen: sincosdynamisch3.ggb
Mit den Parametern $r$, $\omega$ und $\varphi$ kann man im Applet die Kreisbewegung festlegen.
- Die Bewegung findet auf einem Kreis mit dem Koordinatenursprung $(0|0)$ als Mittelpunkt statt. Der Parameter $r$ legt den Radius und damit die Größe des Kreises fest.
- Wir betrachten Kreisbewegungen mit konstanter Drehgeschwindigkeit bzw. Winkelgeschwindigkeit. Mit dem Parameter $\omega$ kann man diese Winkelgeschwindigkeit einstellen. Mit der Umlaufdauer $T$ beschreibt man, wie lang es dauert, bis der Punkt $P$ einen vollständigen Umlauf der Kreisbahn durchgeführt hat. Es gilt folgender Zusammenhang: $\displaystyle{\omega = \frac{2\pi}{T}}$.
- Mit dem Parameter $\varphi$ legt man fest, an welcher Position sich der Punkt $P$ zum Zeitpunkt $t = 0$ befindet. $\varphi$ beschreibt diese Startposition durch den Winkel gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der 3-Uhr-Position aus.
Die Kreisbewegung lässt sich dann mit Hilfe der Sinus- und Kosinus-Funktion beschreiben. Es gilt folgender Zusammenhang.
Beschreibung von Kreiswegungen
Der Punkt $P$ bewegt sich auf einem Kreis mit Mittelpunkt $(0|0)$ und Radius $r$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ – beginnend zum Zeitpunkt $t = 0$ an der mit dem Winkel $\varphi$ beschriebenen Position – genau dann, wenn man die momentane Position von $P$ zum Zeitpunkt $t$ so beschreiben kann:
$P_t = (\underbrace{r\cos(\omega t+\varphi)}_{x(t)}|\underbrace{r\sin(\omega t+\varphi)}_{y(t)})$
Die Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ sind dabei die allgemeine Kosinus- und die allgemeine Sinusfunktion.
Geometrische Deutung der Parameter
Betrachte die folgenden allgemeinen Sinus- und Kosinus-Funktionen.
- $x(t) = r\cos(\omega t + \varphi)$
- $y(t) = r\sin(\omega t + \varphi)$
Mit dem folgenden Applet kann man die geometrische Bedeutung der Parameter $r$, $\omega$ und $\varphi$ untersuchen.
Zum Herunterladen: sincosparameter.ggb
Wir betrachten nur positive Werte für die Parameter.
Betrachte jeweils den Übergang von der normalen
Sinus- und Kosinus-Funktion zur verallgemeinerten Variante.
Es gelten dann folgende Zusammenhänge:
-
$y(t) = r \sin(t)$ bzw. $x(t) = r \cos(t)$:
Der Parameter $r$ streckt bzw. staucht den Graph in $y$-Richtung. Wenn $r > 1$, dann wird der Graph gestreckt. Wenn $r \lt 1$, dann wird der Graph gestaucht. -
$x(t) = \sin(\omega t)$ bzw. $y(t) = \cos(\omega t)$:
Der Parameter $\omega$ staucht bzw. streckt den Graph in $x$-Richtung. Wenn $\omega > 1$, dann wird der Graph gestaucht. Wenn $\omega \lt 1$, dann wird der Graph gestreckt. -
$x(t) = \sin(t + \varphi)$ bzw. $y(t) = \cos(t + \varphi)$:
Der Parameter $\varphi$ verschiebt den Graph nach links in $x$-Richtung. Beachte: Wenn man wie in $f(t) = \sin(\omega t + \varphi)$ auch den Parameter $\omega$ verwendet, dann beträgt die Verschiebung nach links $\frac{\varphi}{\omega}$.
