Zusammenfassung – Produktregel
Ein Beispiel
Wir betrachten die Situation, dass zwei Funktionen miteinander multipliziert eine Produktfunktion ergeben. Wie leitet man eine solche Produktfunktion ab?
Das Applet verdeutlicht, wie das geht.
Zum Herunterladen: produktregel.ggb
Die Ableitungsregel
Im Beispiel wird die Produktregel benutzt.
Produktregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ in einem Intervall $I$ differenzierbar sind, dann ist auch die Produktfunktion $u \cdot v$ im Intervall $I$ differenzierbar und es gilt:
$(u \cdot v)'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Kurz: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Hier noch einmal das Beispiel zur Verdeutlichung der Ableitungsregel.
Beispiel
$f(x) = \underbrace{x^2}_{u(x)} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)}$
$f'(x) = \underbrace{2x}_{u'(x)} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{v(x)} + \underbrace{x^2}_{u(x)} \cdot \underbrace{\cos(x)}_{v'(x)}$
Herleitung der Produktregel
Bei der Herleitung der Produktregel greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück. Die folgende Übersicht fasst den inhaltlichen Kern dieser Definition zusammen.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Bei der Herleitung zur Produktregel gehen wir von einer Produktfunktion $u \cdot v$ aus.
Schritt 1: Wir formen den Term zur mittleren Änderungsrate $m_{u \cdot v}(x,x+h)$ geeignet um.
| mittl. Änderungsr. | umgeformter Term | ||
|---|---|---|---|
| (1) | $m_{u \cdot v}(x, x+h)$ | $=$ | $\displaystyle{\frac{(u \cdot v)(x+h)-(u \cdot v)(x)}{h}}$ |
| (2) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(x+h) \cdot v(x+h)-u(x) \cdot v(x)}{h}}$ | |
| (3) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(x+h) \cdot v(x+h)-u(x) \cdot v(x+h)+u(x) \cdot v(x+h)-u(x) \cdot v(x)}{h}}$ | |
| (4) | $=$ | $\displaystyle{\frac{[u(x+h)-u(x)] \cdot v(x+h) + u(x) \cdot [v(x+h)-v(x)]}{h}}$ | |
| (5) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(x+h)-u(x)}{h} \cdot v(x+h) + u(x) \cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}$ | |
| (6) | $=$ | $m_{u}(x,x+h) \cdot v(x+h) + u(x) \cdot m_{v}(x,x+h)$ |
Schritt 2: Wir führen den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durch.
$\begin{array}{lclclclcl} m_{u \cdot v}(x,x+h) & = & m_{u}(x,x+h) & \cdot & v(x+h) & + & u(x) & \cdot & m_{v}(x,x+h) \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0\\ (u \cdot v)'(x) & = & u'(x) & \cdot & v(x) & + & u(x) & \cdot & v'(x) \end{array}$
Beachte: Der in der Übersicht gezeigte Grenzprozess setzt voraus, dass die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind. Beachte, dass aus der Differenzierbarkeit von $v$ an der Stelle $x$ auch die Stetigkeit von $v$ an der Stelle $x$ folgt.
