Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du bereits wiederholt Funktionen verkettet. In diesem Abschnitt werden wir die Verkettung als Verknüpfung von Funktionen ganz allgemein einführen.
Ein Beispiel analysieren
Betrachte die im Applet dargestellte Situation.
Zum Herunterladen: verkettung3.ggb
Aufgabe 1
(a) Im Applet werden die beiden Funktionen $u$ und $v$ nacheinander ausgeführt. Ergänze die Beschreibungen.
-
Erst wird die Funktion ... ausgeführt, dann wird die Funktion ... ausgeführt
. ... wird nach ... ausgeführt.
(b)
Erläutere:
Durch das Hintereinanderausführen erst $v$, dann $u$
bzw. $u$ nach $v$
entsteht eine neue Funktion $f$ mit $f(x) = u(v(x))$.
Man nennt sie auch die Verkettung von $u$ und $v$.
(c) Erläutere die folgenden Bezeichnungen: Wenn $u$ nach $v$ ausgeführt wird, dann ...
- ... bezeichnet man $v$ als innere Funktion.
- ... bezeichnet man $u$ als äußere Funktion.
(d) Begründe und ergänze:
- Die im Applet vorgegebene Funktion $v$ mit $v(x) = x-1$ ist für beliebige reelle Zahlen definiert.
- Die im Applet vorgegebene Funktion $u$ mit $u(x) = \sqrt{x}$ ist für reelle Zahlen definiert, die größer oder gleich $0$ sind.
- Die Verkettung $f$ von $u$ und $v$ mit $f(x) = u(v(x)) = \sqrt{x-1}$ ist für reelle Zahlen definiert, die ....
Die Verkettung von Funktionen präzisieren
Betrachte zwei Funktionen $u$ und $v$, die hintereinander ausgeführt werden: erst die Funktion $v$, dann die Funktion $u$
bzw. $u$ wird nach $v$ ausgeführt
.
$x \stackrel{v}{\rightarrow} v(x) \stackrel{u}{\rightarrow} u(v(x))$
Hierdurch entsteht eine neue Funktion $f$ mit $f(x) = u(v(x))$.
$x \stackrel{f}{\rightarrow} u(v(x))$
Verkettung von Funktionen
Die Verknüpfung der beiden Funktionen $u$ und $v$ durch Hintereinanderausführen beschreibt man mit dem Verknüpfungszeichen $\circ$:
$f = u \circ v$ mit $f(x) = u(v(x))$
Gelesen wird $f = u \circ v$ so: $f$ ist gleich $u$ nach $v$
.
Diese Verknüpfung von Funktionen nennt man Verkettung (bzw. Komposition) von Funktionen.
Wenn $f = u \circ v$ bzw. $f(x) = u(v(x))$, dann nennt man $v$ innere Funktion und $u$ äußere Funktion.
Beachte: Wenn $f = u \circ v$, dann ist die Funktion $f$ nur für solche $x$-Werte definiert, für die $x$ in der Definitionsmenge von $v$ liegt und für die zusätzlich $v(x)$ in der Definitionsmenge von $u$ liegt.
Aufgabe 2
Erläutere das Beispiel 1 und ergänze das Beispiel 2.
Beispiel 1
Gegeben sind zwei Funktionen:
- $v(x) = x-1$ (innere Funktion)
- $u(x) = \sqrt{x}$ (äußere Funktion)
Die Verkettung $u \circ v$ ergibt die folgende Funktion $f$:
$f(x) = u(v(x)) = \sqrt{x-1}$
Beachte: $f$ ist nur für reellen Zahlen definiert, die größer oder gleich $1$ sind.
Beispiel 2
Gegeben sind zwei Funktionen:
- $v(x) = \sqrt{x}$ (innere Funktion)
- $u(x) = x - 1$ (äußere Funktion)
Die Verkettung $u \circ v$ ergibt die folgende Funktion $f$:
$f(x) = u(v(x)) = \dots$
Beachte: $f$ ist nur für reellen Zahlen definiert, die ....
