Übungen - Produktregel
Aufgabe 1
Bestimme mit der Produktregel die Ableitungsfunktionen.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
| (1) | $f(x) = x \cdot \sin(x)$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = x^2 \cdot \cos(x) $ | $f'(x) = $ |
| (3) | $g(x) = \frac{1}{x} \cdot \sin(x)$ | $g'(x) = $ |
| (4) | $f(x) = \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$ | $f'(x) = $ |
| (5) | $h(x) = \pi \cdot \sin(x)$ | $h'(x) = $ |
| (6) | $s(t) = a \cdot \sin(t)$ | $s'(t) = $ |
Aufgabe 2
Bestimme die Ableitungsfunktionen auf zwei verschiedene Weisen – direkt mit der Produktregel und durch vorheriges Umformen.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
| (1) | $f(x) = x \cdot (x - 2)$ $f(x) = $ |
$f'(x) = $ $f'(x) = $ |
| (2) | $g(x) = (x^2 + 1) \cdot (x^2 - 1)$ $g(x) = $ |
$g'(x) = $ $g'(x) =$ |
| (3) | $f(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ $f(x) =$ |
$f'(x) = $ $f'(x) =$ |
| (4) | $h(x) = (2x - 4)^2$ $h(x) = $ |
$h'(x) = $ $h'(x) = $ |
| (5) | $u(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$ $u(x) = $ |
$u'(x) = $ $u'(x) = $ |
| (6) | $f(x) = x \cdot \sqrt{x}$ $f(x) = $ |
$f'(x) = $ $f'(x) = $ |
Aufgabe 3
(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = (x+1)(x-2)$. Bestimme die Steigung von Graph $f$ in den Nullstellen von $f$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet. Bewege hierzu den roten Punkt auf der $x$-Achse an passende Stellen.
(b) Betrachte Funktionen $f$ mit $f(x) = (x+a)(x-b)$, wobei $a$ und $b$ beliebige reelle Zahlen sind. Benutze das Applet, um für verschiedene Werte für $a$ und $b$ die Steigung von Graph $f$ in den Nullstellen von $f$ zu bestimmen. Was fällt auf? Stelle eine Vermutung auf, wie man die Steigungen direkt am Funktionsterm $f(x) = (x+a)(x-b)$ ablesen kann.
Zum Herunterladen: funktionsgraph1.ggb
(c) Betrachte Funktionen $f$ mit $f(x) = (x+a)(x-b)$, wobei $a$ und $b$ beliebige reelle Zahlen sind. Bestimme $f'(x)$ mit der Produktregel. Entwickle allgemeine Formeln für die Steigung von Graph $f$ in den Nullstellen von $f$.
Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 \cdot e^x$.
Zum Herunterladen: funktionsgraph2.ggb
(a) Bestimme rechnerisch die Steigung von Graph $f$ an den Stellen $1$ und $-1$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.
(b) An welchen Stellen hat Graph $f$ eine waagerechte Tangente? Bestimme diese Stellen experimentell im Applet und rechnerisch mit Hilfe der Ableitungsfunktion $f'$.
Aufgabe 5
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$.
Zum Herunterladen: funktionsgraph3.ggb
(a) Begründe, dass Graph $f$ u.a. die Nullstellen $0$, $\frac{1}{2}\pi$, $\pi$, $\frac{3}{2}\pi$ und $2\pi$ hat. Vergleiche Graph $f$ mit dem Graph der Funktion $y = \sin(2x)$. Was fällt auf?
(b) Bestimme rechnerisch die Steigung von Graph $f$ an den Stellen $0$, $\frac{1}{4}\pi$, $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{4}\pi$ und $1$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.
(b) Skizziere Graph $f'$. Vergleiche mit dem Graph der Funktion $y = \cos(2x)$. Was fällt auf?
Aufgabe 6
(a) Zeige, dass die Faktorregel ein Spezialfall der Produktregel ist. Betrachte hierzu eine Funktion $f$ mit $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, wobei $u$ eine konstante Funktion ist mit $u(x) = c$ und einer reellen Zahl $c$. Wende die Produktregel auf $f$ an und zeige, dass $f' = c \cdot v$ gilt.
(b) Betrachte eine Produktfunktion der Gestalt $f = u \cdot v \cdot w$. Entwickle eine Regel zum Ableiten solcher Mehrfachprodukte.
Hinweis: Wende die normale Produktregel in geeigneter Weise auf
$f = u \cdot v \cdot w = (u \cdot v) \cdot w$ an.
