Zusammenfassung – Quotientenregel
Ein Beispiel
Wir betrachten die Situation, dass der Quotient aus zwei Funktionen eine Quotientenfunktion ergeben. Wie leitet man eine solche Quotientenfunktion?
Das Applet verdeutlicht, wie das geht.
Zum Herunterladen: quotientenregel.ggb
Die Ableitungsregel
Im Beispiel wird die Quotientenregel benutzt.
Quotientenregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ im Intervall $I$ differenzierbar sind, dann ist auch die Quotientenfunktion $\displaystyle{\frac{u}{v}}$ im Intervall $I$ an an allen Stellen $x$ mit $v(x) \neq 0$ differenzierbar und es gilt für alle diese Stellen:
$\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)'(x) = \displaystyle{\frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}}$
Kurz: $\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}}$
Hier noch einmal das Beispiel zur Verdeutlichung der Ableitungsregel.
Beispiel
$f(x) = \displaystyle{\frac{\overbrace{\sin(x)}^{u(x)}}{\underbrace{x^2}_{v(x)}}}$
$f'(x) = \displaystyle{\frac{\overbrace{2x}^{u'(x)} \cdot \overbrace{\sin(x)}^{v(x)} - \overbrace{x^2}^{u(x)} \cdot \overbrace{\cos(x)}^{v'(x)}}{\underbrace{x^4}_{[v(x)]^2}}}$
Herleitung der Quotientenregel
Bei der Herleitung der Quotientenregel greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück. Die folgende Übersicht fasst den inhaltlichen Kern dieser Definition zusammen.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Ein Spezialfall: Ableitung von $1/v$
Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass $u(x) = 1$ gilt. Die Quotientenfunktion $u/v$ ist dann die Kehrwertfunktion $1/v$ zur Nennerfunktion $v$.
Schritt 1: Wir formen den Term zur mittleren Änderungsrate $m_{1/v}(x,x+h)$ geeignet um.
| mittl. Änderungsr. | umgeformter Term | ||
|---|---|---|---|
| (1) | $m_{1 / v}(x, x+h)$ | $=$ | $\displaystyle{\frac{(1/v)(x+h)-(1/v)(x)}{h}}$ |
| (2) | $=$ | $\displaystyle{\frac{\frac{1}{v(x+h)} - \frac{1}{v(x)}}{h}}$ | |
| (3) | $=$ | $\displaystyle{\frac{\frac{v(x)}{v(x) \cdot v(x+h)} - \frac{v(x+h)}{v(x) \cdot v(x+h)}}{h}}$ | |
| (4) | $=$ | $\displaystyle{\frac{\frac{v(x) - v(x+h)}{v(x) \cdot v(x+h)}}{h}}$ | |
| (5) | $=$ | $\displaystyle{- \frac{v(x+h) - v(x)}{h} \cdot \frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}}$ | |
| (6) | $=$ | $- m_{v}(x,x+h) \cdot \displaystyle{\frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}}$ |
Schritt 2: Wir führen den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durch.
$\begin{array}{lclclclcl} m_{1 / v}(x,x+h) & = & - & m_{v}(x,x+h) & \cdot & \displaystyle{\frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}} \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 \\ \left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)'(x) & = & - & v'(x) & \cdot & \displaystyle{\frac{1}{v(x) \cdot v(x)}} \end{array}$
Beachte: Der in der Übersicht gezeigte Grenzprozess setzt voraus, dass die Funktion $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist. Beachte, dass aus der Differenzierbarkeit von $v$ an der Stelle $x$ auch die Stetigkeit von $v$ an der Stelle $x$ folgt.
Zur Ableitung einer Kehrwertfunktion $1/v$ erhält man dann folgende Ableitungsregel:
Kehrwertregel (in Kurzform)
$\left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{-v'}{v^2}}$
Der allgemeine Fall: Ableitung von $u/v$
Betrachte jetzt den Fall, dass ein Quotienten $u/v$ aus zwei Funktionen abgeleitet werden soll.
Die Ableitung einer solchen Quotientenfunktion lässt sich jetzt mit der Produkt- und Kehrwertregel bilden:
$\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)' = \left(u \cdot \displaystyle{\frac{1}{v}}\right)' = u' \cdot \displaystyle{\frac{1}{v}} + u \displaystyle{\frac{-v'}{v^2}} = \displaystyle{\frac{u' \cdot v}{v^2}} + \displaystyle{\frac{-u \cdot v'}{v^2}} = \displaystyle{\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}}$
