Übungen – Umkehrung von Funktionen

Aufgabe 1

(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x+2$. Warum ist diese Funktion umkehrbar? Bestimme ihre Umkehrfunktion.

(b) Betrachte eine lineare Funktion $f$ mit $f(x) = mx + b$ und $m \neq 0$. Warum ist eine solche Funktion umkehrbar? Bestimme ihre Umkehrfunktion.

Aufgabe 2

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = (x-3)^2 + 2$.

Warum ist diese Funktion nicht umkehrbar? Schränke die Definitionsmenge so ein, dass sie umkehrbar wird. Bestimme für die Funktion mit eingeschränkter Definitionsmenge eine Funktionsgleichung für die Umkehrfunktion. Kontrolliere dein Ergebnis im Applet.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion7.ggb

Aufgabe 3

Die folgenden Funktionen sind alle umkehrbar. Bestimme jeweils eine Funktionsgleichung für die Umkehrfunktion.

• $f(x) = (x+1)^3$
• $f(x) = \sqrt[3]{2x}$
• $f(x) = 2e^{x-1}$

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit folgenden Funktionsgleichungen.

• $f(x) = 4x-6$
• $g(x) = 0.25x + 1.5$

(a) Bestimme jeweils eine Funktionsgleichung zu den Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und $g^{-1}$. Was fällt hier auf?

(b) Bestimme $f \circ g$ und $g \circ f$. Was fällt hier auf?

(c) Warum sind die folgenden Zusammenhänge plausibel? Begründe.

• Wenn man die Umkehrfunktion einer Funktion $f$ umkehrt, erhält man die Ausgangsfunktion $f$.
  Kurz: $(f^{-1})^{-1} = f$
• Wenn $g$ die Umkehrfunktion zur Funktion $f$ ist, dann ist $f$ die Umkehrfunktion von $g$.
  Kurz: Wenn $f^{-1} = g$, dann gilt $g^{-1} = f$.
• Betrachte die Identitätsfunktion $i$ mit $i(x) = x$ (für alle $x$ aus einer vorgegebenen Definitionsmenge). Es gilt:
  $f \circ g = i$ bzw. $g \circ f = i$ genau dann, wenn $g = f^{-1}$ bzw. $f = g^{-1}$.

Aufgabe 5

Temperaturen kann man in Grad Celsius und in Grad Fahrenheit angeben. Zur Umrechnung von Temperaturen aus Grad Celsius in Grad Fahrenheit kann man die Funktion $f$ mit $f_{F}(x) = \frac{9}{5}x+32$ benutzen.

(a) Rechne mit der Funktion $f$ die Temperatur $25°C$ in $°F$ um.

(b) Entwickle eine Funktion $f_{C}$, mit der man Temperaturen aus Grad Fahrenheit in Grad Clesius umrechnen kann.