Ableitung von Potenzfunktionen
Potenzfunktionen
Potenzfunktionen (mit natürlichen Exponenten) sind Funktionen der Gestalt $f(x) = x^{n}$ mit einer natürlichen Zahl $n$. Das Applet zeigt die Graphen dieser Potenzfunktionen.
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Ableitung von Potenzfunktionen
Die Ableitung von Potenzfunktionen erhält man mit der Ableitungsdefinition. Man muss hierzu den Grenzwert der mittleren Änderungsraten ermitteln. Das folgende Applet zeigt, wie das geht.
Zum Herunterladen: herleitungpotenzregel.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte als typischen Fall die Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^5$. Kläre folgende Fragen.
- Betrachte den vereinfachten Term zu $f(x+h)$. Welche Teilterme enthalten ein $h$ - mit welchen Exponenten? Welcher Teilterm enthält kein $h$?
- Wie entsteht der Teilterm $5hx^4$, wenn man $(x+h)^5 = (x+h)(x+h)(x+h)(x+h)(x+h)$ ausmultipliziert?
- Betrachte den vereinfachten Term zu $f(x+h)-f(x)$. Welcher Teilterm fällt weg? Welche verbleibenden Teilterme enthalten ein $h$ - mit welchen Exponenten?
- Betrachte den vereinfachten Term zu $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Welche Teilterme enthalten ein $h$? Welcher Teilterm enthält kein $h$?
- Welche Teilterme liefern bei der Grenzwertbildung $h \rightarrow 0$ den Wert $0$ (und fallen somit beim Ergebnis weg)?.
(b) Vergewissere dich, dass man für andere $n$-Werte analog schließen kann. Überzeuge dich so, dass man die Ableitung von Potenzfunktionen mit der folgenden Regel ermitteln kann.
Potenzregel (für natürliche Exponenten)
Wenn $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$), dann gilt $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.
Erweiterung der Potenzregel
Potenzfunktionen (mit beliebigen Exponenten) sind Funktionen der Gestalt $f(x) = x^{r}$ mit einer reellen Zahl $r$. Beachte, dass solche Potenzfunktionen ggf. nicht für alle reellen $x$-Werte definiert sind. Im folgenden Applet kannst du dir die Graphen dieser verallgemeinerten Potenzfunktionen sowie deren Ableitungsfunktionen anschauen.
Zum Herunterladen: potenzfunktionen2.ggb
Man kann zeigen, dass die Potenzregel für natürliche Exponenten in analoger Form auch für beliebige Exponenten gilt.
Potenzregel (für beliebige Exponenten)
Wenn $f(x) = x^r$ (mit einer reellen Zahl $r$), dann gilt $f'(x) = r \cdot x^{r-1}$.
Aufgabe 2
Betrachte die foilgenden Sonderfälle und ermittle Funktionsgleichungen für die Ableitungen.
- $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}} = x^{-1}$; also: $\displaystyle{f'(x) = \dots}$
- $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x^2}}$
- $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x^3}}$
- $\displaystyle{f(x) = \sqrt{x}}$
- $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}}$
