Vertiefung – Herleitung
Zur Orientierung
Wie leitet man ein Quotient aus zwei Funktionen ab? Im letzten Abschnitt hast du eine Regel experimentell bestimmt. In diesem Abschnitt wird diese Regel argumentativ nachgewiesen. Bei der Herleitung greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Die Kehrwertregel herleiten
Diese Regel zum Ableitung eines Kehrwerts von einer Funktion soll hergeleitet werden.
Kehrwertregel
$\left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{-v'}{v^2}}$
Die Herleitung ist etwas umfangreicher und wird daher hier vorgegeben.
| mittl. Änderungsr. | umgeformter Term | ||
|---|---|---|---|
| (1) | $m_{1 / v}(x, x+h)$ | $=$ | $\displaystyle{\frac{(1/v)(x+h)-(1/v)(x)}{h}}$ |
| (2) | $=$ | $\displaystyle{\frac{\frac{1}{v(x+h)} - \frac{1}{v(x)}}{h}}$ | |
| (3) | $=$ | $\displaystyle{\frac{\frac{v(x)}{v(x) \cdot v(x+h)} - \frac{v(x+h)}{v(x) \cdot v(x+h)}}{h}}$ | |
| (4) | $=$ | $\displaystyle{\frac{\frac{v(x) - v(x+h)}{v(x) \cdot v(x+h)}}{h}}$ | |
| (5) | $=$ | $\displaystyle{- \frac{v(x+h) - v(x)}{h} \cdot \frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}}$ | |
| (6) | $=$ | $- m_{v}(x,x+h) \cdot \displaystyle{\frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}}$ |
Aufgabe 1
Kommentiere jeden Schritt der Herleitung, z.B. so:
- In Schritt (1) wird die Definition der mittleren Änderungsrate benutzt.
- In Schritt (2) ...
- ...
- ...
- ...
- ...
Aufgabe 2
(a) Betrachte den Grenzprozess $h \rightarrow 0$. Erkläre die folgende Übersicht.
$\begin{array}{lclclclcl} m_{1 / v}(x,x+h) & = & - & m_{v}(x,x+h) & \cdot & \displaystyle{\frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}} \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 \\ \left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)'(x) & = & - & v'(x) & \cdot & \displaystyle{\frac{1}{v(x) \cdot v(x)}} \end{array}$
(b) An welchen Stellen wird in der Argumentation vorausgesetzt, dass die Funktion $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist? Erläutere dies kurz.
Die Kehrwertregel präzise formulieren
Mit den Argumentationen erhält man jetzt die folgende Regel zum Ableiten von Produkten von Funktionen.
Kehrwertregel
Wenn die Funktion $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist und wenn $v(x) \neq 0$ an der Stelle $x$ gilt, dann ist auch die Kehrwertfunktion $\displaystyle{\frac{1}{v}}$ an der Stelle $x$ differenzierbar und es gilt:
$\left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)'(x) = \displaystyle{\frac{- v'(x)}{v^2(x)}}$
Kurz: $\left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{-v'}{v^2}}$
Aufgabe 3
Ergänze das Beispiel zur Verdeutlichung der Kehrwerttregel.
Beispiel
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^2+1}}$
$f'(x) = $
Die Quotientenregel herleiten
Betrachte jetzt den Fall, dass ein Quotienten aus zwei Funktionen abgeleitet werden soll.
Aufgabe 4
(a) Leite mit Hilfe der Produkt- und Kehrwertregel die folgende Ableitungsregel für Quotienten von Funktionen her:
Wenn $f(x) = \displaystyle{\frac{u(x)}{v(x)}}$, dann gilt $f'(x) = \displaystyle{\frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}}$.
Die Quotientenregel präzise formulieren
Mit den Argumentationen erhält man jetzt die folgende Regel zum Ableiten von Quotienten von Funktionen.
Quotientenregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ im Intervall $I$ differenzierbar sind, dann ist auch die Quotientenfunktion $\displaystyle{\frac{u}{v}}$ im Intervall $I$ an an allen Stellen $x$ mit $v(x) \neq 0$ differenzierbar und es gilt für alle diese Stellen:
$\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)'(x) = \displaystyle{\frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}}$
Kurz: $\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}}$
Aufgabe 5
(a) Ergänze das Beispiel zur Verdeutlichung der Kehrwerttregel.
Beispiel
$f(x) = \displaystyle{\frac{x}{1 + x^2}}$
$f'(x) = $
