Beispiel 3

Aufgabe

Betrachte die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = (x-k) \cdot e^{-x}$. Der Parameter $k$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein. Im Applet kann man mit dem Schieberegel einige ausgewählte Werte für $k$ einstellen.

Zum Herunterladen: aufgabe3.ggb

(a) Im Graph $f_k$ sind die drei Punkte $N$, $H$ und $W$ hervorgehoben. Kläre folgende Fragen experimentell:

• Welche Bedeutung haben diese Punkte für den Graph?
• Welchen horizontalen Abstand (verdeutlicht mit den rot gestrichelten Geraden) haben die Punkte jeweils?
• Welche $x$-Koordinaten haben die Punkte?

(b) Jetzt geht es darum, die Aussagen in (a) nachzuweisen. Begründe:

• $f_k$ hat an der Stelle $x = k$ eine Nullstelle.
• $f_k$ hat an der Stelle $x = k+1$ eine Extremstelle.
• $f_k$ hat an der Stelle $x = k+2$ eine Wendestelle.

(c) Stimmt es, dass Graph $f_k''$ jeweils identisch mit einem Graph der Funktionenschar ist? Begründe kurz.

(d) Blende den Graph der Funktion $h$ ein. Es fällt auf, dass die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar alle auf Graph $h$ liegen. Bestimme eine Funktionsgleichung für die Funktion $h$.