Erarbeitung

Eine Zuordnung umkehren

Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = x^3$ dargestellt. Mache dich mit dem Applet vertraut. Bearbeite hierzu die folgenden Punkte.

• Die Funktion $f$ ist eine Zuordnung, die jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zuordnet. Diese Zuordnung wird im Applet mit Pfeilen verdeutlicht. Variiere mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse den $x$-Wert und beobachte, wie man den zugeodneten $y$-Wert erhält.
• Aktiviere die Schaltfläche [Zuordnung umkehren]. Man erhält hierdurch die Umkehrzuordnung zur Ausgangszuordnung. Die Zuordnungspfeile dieser Umkehrzuordnung zeigen vom $y$-Wert zum $x$-Wert. Variiere mit dem violetten Punkt auf der $y$-Achse den $y$-Wert und beobachte, wie man den zugeodneten $x$-Wert erhält.
• Aktiviere die Schaltfläche [Umkehrzuordnung spiegeln]. Hierdurch werden bei der Umkehrzuordnung die Rollen von $x$ und $y$ vertauscht. Aus z.B. $y = 8 \rightarrow x = 2$ wird hierdurch $x = 8 \rightarrow y = 2$. Geometrisch wird hierdurch der Punkt $(2|8)$ zur Umkehrzuodnung $y = 8 \rightarrow x = 2$ an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt. Es entsteht der Punkt $(8|2)$ zur Umkehrzuodnung $x = 8 \rightarrow y = 2$. Die Umkehrzuordnung wird hierdurch in die Standarddarstellung $x \rightarrow y$ für Funktionen übertragen. Wenn man jetzt den violetten Punkt auf der $y$-Achse hin und her bewegt, entsteht der Graph der Umkehrzuordnung bzw. Umkehrfunktion zur Ausgangsfunktion.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion2.ggb

Aufgabe 2

Betrachte weiterhin die Funktion $f : x \rightarrow y$ mit $y = x^3$.

(a) Ergänze in der folgenden Übersicht die Zuodnungen zur Ausgangsfunktion $f: x \rightarrow y$.

(b) Ergänze in der folgenden Übersicht die Umkehrung der Ausgangszuordnung $f^{-1} : y \rightarrow x$. Begründe auch die Funktionsgleichung $x = \sqrt[3]{y}$ dieser Umkehrzuordnung.

(c) Betrachte die Spiegelung der Umkehrzuordnung $f^{-1} : x \rightarrow y$, bei der die Rollen von $x$ und $y$ bei der Umkehrzuordnung vertauscht werden. Ergänze in der fehlenden Werte in der Übersicht und erläutere, wie man die Funktionsgleichung $y = \sqrt[3]{x}$ zur Umkehrzuordnung erhält.

Ausgangsfunktion als Zuordnung	Umkehrung der Zuordnung	Spiegelung der Umkehrzuordnung
$f : x \rightarrow y$	$f^{-1} : y \rightarrow x$	$f^{-1} : x \rightarrow y$
$\begin{array}{c|c|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ -1 & \rightarrow & -1 \\ 0 & \rightarrow & 0 \\ 1 & \rightarrow & 1 \\ 2 & \rightarrow & \\ 3 & \rightarrow & \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c|c|c} x & \leftarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ & \leftarrow & -1 \\ & \leftarrow & 0 \\ & \leftarrow & 1 \\ & \leftarrow & 8 \\ 3 & \leftarrow & \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c|c|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ -1 & \rightarrow & \\ 0 & \rightarrow & \\ 1 & \rightarrow & \\ 8 & \rightarrow & \\ & \rightarrow & 3 \\ \dots & & \dots \end{array}$
$y = x^3$	$x = \sqrt[3]{y}$	$y = \sqrt[3]{x}$

Aufgabe 3

Betrachte die im nächsten Applet vorgegebene Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.

(a) Wenn man bei dieser Funktion die Schaltfläche [Zuordnung umkehren] aktiviert, erhält man keine Zuordnungspfeile. Die werden hier nicht angezeigt, weil die Umkehrzuordnung nicht eindeutig ist. Erläutere, was mit nicht eindeutig gemeint ist.

(b) Im unteren Fenster kann man die Definitionsmenge der betrachteten Funktion bearbeiten. Stelle für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ die Definitionsmenge $0 \leq x \lt \infty$ ein. Begründe: Für diese eingeschränkte Definitionsmenge erhält man eine Funktion, deren Umkehrzuordnung eindeutig ist.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion3.ggb

(c) Ergänze für die eingeschränkte Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und $0 \leq x \leq \infty$ die Übersicht.

Ausgangsfunktion als Zuordnung	Umkehrung der Zuordnung	Spiegelung der Umkehrzuordnung
$f : x \rightarrow y$	$f^{-1} : y \rightarrow x$	$f^{-1} : x \rightarrow y$
$\begin{array}{c|c|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ 0 & \rightarrow & \\ 1 & \rightarrow & \\ 2 & \rightarrow & \\ 3 & \rightarrow & \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c|c|c} x & \leftarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ 0 & \leftarrow & \\ 1 & \leftarrow & \\ 2 & \leftarrow & \\ 3 & \leftarrow & \\ \dots & & \dots \end{array}$	$\begin{array}{c|c|c} x & \rightarrow & y \\ \hline \dots & & \dots \\ 0 & \rightarrow & \\ 1 & \rightarrow & \\ 4 & \rightarrow & \\ 9 & \rightarrow & \\ \dots & & \dots \end{array}$
$y = x^2$	$x = \dots$	$y = \dots$

Begriffe präzisieren

Die bereits informell benutzten Begriffe werden in der Definition präzisiert.

Aufgabe 4

Erläutere die Begriffe anhand der folgenden Beispiele.

Umkehrfunktionen zu Basisfunktionen

Zu vielen Basisfunktionen gibt es Umkehrfunktionen mit eigenen Bezeichner.

• Die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen sind die Wurzelfunktionen. Die solltest du kennen.
• Die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen sind die Logarithmusfunktionen. Hier reicht es in der Regel, wenn du die $\ln$-Funktion kennst.
• Auch zu den trigonometrischen Funktionen gibt es passende Umkehrfunktionen. Die musst du aber nicht kennen.

Ausgangsfunktion	Funktionsgraphen	Umkehrfunktion
$f(x) = x^2$; $0 \le x \lt \infty$		$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$; $0 \le x \lt \infty$
$f(x) = x^3$; $-\infty \lt x \lt \infty$		$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$; $-\infty \lt x \lt \infty$
$f(x) = e^x$; $-\infty \lt x \lt \infty$		$f^{-1}(x) = \ln(x)$; $0 \lt x \lt \infty$
$f(x) = \sin(x)$; $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$		$f^{-1}(x) = \arcsin(x)$; $-1 \le x \le 1$