Erarbeitung – Experimente

Eine Regel für Kehrwertfunktionen experimentell bestimmen

Die Regel zum Ableiten von Quotienten aus zwei Funktionen ist recht kompliziert. Wir beginnen daher mit dem Spezialfall, dass der Kehrwert einer Funktion betrachtet wird. Benutze zum Experimentieren das folgende Applet. Bearbeite hierzu die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: kehrwertregel.ggb

Aufgabe 1

(a) Ermittle mit dem Applet die Ableitungen der Kehrwertfunktionen in der Tabelle.

	$v$	$(1 \cdot v)'$
(1)	$v(x) = \sin(x)$	$(1 \cdot v)'(x) = \displaystyle{\frac{- \cos(x)}{\sin^2(x)}}$
(2)	$v(x) = \cos(x)$	$(1 \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(3)	$v(x) = x$	$(1 \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(4)	$v(x) = x^2$	$(1 \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(5)	$v(x) = e^x$	$(1 \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$

(b) Analysiere die Ergebnisse in der Tabelle und formuliere eine allgemeine Regel zum Ableiten von Kehrwertfunktionen.

Zur Kontrolle

Wenn $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{v(x)}}$, dann gilt $f'(x) = \displaystyle{\frac{-v'(x)}{(v(x))^2}}$.

Kurz: $\left(\displaystyle{\frac{1}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{-v'}{v^2}}$

Eine Regel für Quotienten von Funktionen bestimmen

Betrachte jetzt den allgemeinen Fall, dass ein Quotienten aus zwei Funktionen abgeleitet werden soll. Benutze zum Experimentieren das folgende Applet. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: quotientenregel.ggb

Aufgabe 2

(a) Ermittle mit dem Applet die Ableitungen der Quotientenfunktionen in der Tabelle.

	$u$	$v$	$\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)'$
(1)	$u(x) = x^2$	$v(x) = \sin(x)$	$(u \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{xxxxxxxxxxx}}{\text{xxxxxxxxxxx}}}}$
(2)	$u(x) = x$	$v(x) = \sin(x)$	$(u \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(3)	$u(x) = x^2$	$v(x) = \cos(x)$	$(u \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(4)	$u(x) = x^2 - 1$	$v(x) = x^2 + 1$	$(u \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(5)	$u(x) = x$	$v(x) = e^x$	$(u \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$
(5)	$u(x) = \sin(x)$	$v(x) = \cos(x)$	$(u \cdot v)'(x) = \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}}$

(b) Analysiere die Ergebnisse in der Tabelle und formuliere eine allgemeine Regel zum Ableiten von Quotientenfunktionen.

Zur Kontrolle

Wenn $f(x) = \displaystyle{\frac{u(x)}{v(x)}}$, dann gilt $f'(x) = \displaystyle{\frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}}$.

Kurz: $\left(\displaystyle{\frac{u}{v}}\right)' = \displaystyle{\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}}$