Ausblick – Ableitung komplexer Funktionen

Ableitung komplexer Funktionen

In den letzten Abschnitten hast du gesehen: Die Ableitungsfunktion zu einer Basisfunktion (wie einer Potenzfunktion, Exponentialfunktion oder trigonometrischen Funktion) bestimmt man mit Hilfe der Definition der Ableitung.

Aber wie bestimmt man die Ableitungsfunktion zu einer komplexeren Funktion wie z.B. $f(x) = x^2 \cdot e^{x}$? Man könnte die Ableitungsfunktion zu dieser komplexeren Funktion ebenfalls mit der Definition der Ableitung bestimmen. Günstiger ist es, wenn man hierfür passende Ableitungsregeln verwenden kann. Die Grundidee lässt sich folgendermaßen beschreiben:

• Man zerlegt (in Gedanken) die Ausgangsfunktion in Bausteine. Die Bausteine sind dabei Basisfunktionen.
  $f(x) = \underbrace{\boxed{x^2}}_{u(x)} \cdot \underbrace{\boxed{e^{x}}}_{v(x)}$
• Man bestimmt die Ableitungen der Basisfunktionen mit den betreffenden Regeln:
  $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = e^{x}$
• Man baut aus den Ableitungen der Basisfunktionen die Ableitung der Ausgangsfunktion zusammen. Hier ergibt sich aber eine Schwierigkeit: Wie werden die Ableitungen der Basisfunktionen zusammengesetzt?
• Das hängt von der Art und Weise ab, wie die Basisfunktionen in der Ausgangsfunktion miteinander verknüpft sind.
• Im Fall der Ausgangsfunktion $f$ werden die Basisfunktionen miteinander multipliziert. Heißt das, dass man auch die Ableitungen der Basisfunktionen miteinander multiplizieren muss, um die Ableitung der Ausgangsfunktion zu erhalten? Achtung: So einfach ist das nicht!
• Man benötigt für jede Verknüpfung eine Ableitungsregel, die genau beschreibt, wie man aus den Ableitungen der Bausteine die Ableitung der zusammengesetzten Funktion erhält.

Mit diesen – von der Verknüpfung abhängigen – Ableitungsregeln werden wir uns in den nächsten beiden Kapiteln beschäftigen. Wir wiederholen dabei die Ableitungsregeln zu elementaren Verknüpfungen, die du bereits im Kapitel Ableitungsregeln kennengelernt hast. Wir entwickeln dann weitere Ableitungsregeln für komplexere Verknüpfungen.