Vertiefung
Zur Orientierung
Wir untersuchen hier die im letzten Abschnitt eingeführten logistischen Funktionen genauer.
Logistische Funktionen untersuchen
Die Graphen von logischen Funktionen haben eine typische $S$-Form.
Zum Herunterladen: logistisch6.ggb
Aufgabe 1
Betrachte eine logistische Funktion $f$ mit $\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$, bei der die Parameter $G$, $k$ und $c$ alle positive reelle Zahlen sind.
(a) Begründe, dass $0 \lt f(x) \lt G$ gilt.
(b) Begründe, dass $f'(x) \gt 0$ gilt. Benutze beim Begründen die DGL zum logistischen Wachstum und das Ergebnis aus Aufgabenteil (a).
(c) Begründe, dass $f''(x) = 0$ genau dann gilt, wenn $f(x) = \frac{G}{2}$ gilt. Benutze beim Begründen die DGL zum logistischen Wachstum und das Ergebnis aus Aufgabenteil (b).
(d) Bestimme $x_W$ mit $f(x_W) = \frac{G}{2}$. Erläutere die Bedeutung des Punktes $(x_W|\frac{G}{2})$ auf Graph $f$.
(e)
Zeige mit Hilfe der DGL zum logistischen Wachstum, dass $f'(x_w) = k \cdot \frac{G}{4}$ gilt.
Deute $f'(x_w)$ im Kontext Wachstumsprozess
.
