Übungen – Verkettung von Funktionen
Aufgabe 1
Gegeben sind zwei Funktionen $u$ und $v$:
- $v(x) = x+1$
- $u(x) = x^2$
Betrachte die Verkettungen $f = u \circ v$ und $g = v \circ u$.
(a) Bestimme Funktionsterme für $f$ und $g$.
$f = u \circ v: x \stackrel{v}{\rightarrow} \dots \stackrel{u}{\rightarrow} \dots$
$g = v \circ u: x \stackrel{u}{\rightarrow} \dots \stackrel{v}{\rightarrow} \dots$
(b) Wahr oder falsch? Beurteile die folgenden Aussagen.
- $f(0) = 1$
- $g(0) = 1$
- $f(1) = g(1)$
- $(u \circ v)(2) = 9$
- $(v \circ u)(2) = 9$
- $(u \circ v)(x) = (v \circ u)(x)$
Aufgabe 2
Bestimme jeweils die Verkettung von $u$ mit $v$.
| $v(x)$ | $u(x)$ | $f(x) = u(v(x))$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $v(x) = x + 2$ | $u(x) = x^4$ | $f(x) = $ |
| (2) | $v(x) = \cos(x)$ | $u(x) = x^2$ | $f(x) = $ |
| (3) | $v(x) = x - 1$ | $u(x) = \frac{1}{x}$ | $f(x) = $ |
| (4) | $v(x) = e^x$ | $u(x) = x^2 + x$ | $f(x) = $ |
| (5) | $v(x) = x + \pi$ | $u(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ | $f(x) = $ |
| (6) | $v(x) = x^2 + 2$ | $u(x) = \sqrt{x}$ | $f(x) = $ |
| (7) | $v(x) = x^2$ | $u(x) = x^2 + 2x + 1$ | $f(x) = $ |
| (8) | $v(x) = x - 1$ | $u(x) = x + 1$ | $f(x) = $ |
Überprüfe deine Ergebnisse im Applet.
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Aufgabe 3
Gib jeweils zwei Funktionen $u$ und $v$ an, die miteinander verkettet die Funktion $f$ ergeben.
| $v(x)$ $\qquad\qquad$ | $u(x)$ $\qquad\qquad$ | $f(x) = u(v(x))$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = (x + 4)^4$ |
| (2) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = \sin(x^2 - 1)$ |
| (3) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = \frac{1}{2x+1}$ |
| (4) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = 2e^{-x^2}$ |
| (5) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = \cos(\frac{1}{x})$ |
| (6) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = \sqrt{x^2-1}$ |
| (7) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = (x - 2)^4 + 3(x - 2) - 1$ |
| (8) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = \sin(x^2) - \cos(x^2)$ |
Überprüfe deine Ergebnisse im Applet.
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Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $i$ mit $i(x) = x$. Bestimme $u \circ i$ und $i \circ u$ für mehrere Funktionen $u$. Was fällt auf? Formuliere eine Regel und begründe sie.
Aufgabe 5
Gegeben sind drei Funktionen:
- $u(x) = \frac{1}{x}$
- $v(x) = x^2$
- $w(x) = 2x+1$
Bestimme die Mehrfachverkettungen $f = (u \circ v) \circ w$ und $h = u \circ (v \circ w)$. Was fällt auf? Formuliere eine Vermutung.
