Vertiefung - Herleitung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du die Faktor- und Summenregel experimentell erschlossen. In diesem Abschnitt werden wir diese Regeln argumentativ nachweisen. Bei der Herleitung der Ableitungsregeln verwenden wir die Definition der Ableitung.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Die Faktorregel herleiten
Wir gehen von der im Applet dargestellten Situation aus: Die Funktion $u$ wird mit einen Faktor $c$ zur neuen Funktion $c \cdot u$ vervielfacht.
Zum Herunterladen: mittlereaenderungsraten1.ggb
Aufgabe 1
(a) Verdeutliche exemplarisch anhand des Applets: Wenn man die Funktion $u$ mit dem Faktor $c$ vervielfacht, dann werden nicht nur die Funktionswerte mit dem Faktor $c$ vervielfacht, sondern auch die mittleren Änderungsraten. Es gilt folgendender Zusammenhang:
$m_{c \cdot u}(x,x+h) = c \cdot m_{u}(x,x+h)$
(b) Versuche selbst, diesen Zusammenhang herzuleiten oder erläutere jeden Umformungsschritt in der folgenden Herleitung.
(c) Im Applet erkennt man auch, wie sich aus dem Zusammenhang über die mittleren Änderungsraten ein Zusammenhang über die entsprechenden Ableitungen ergibt. Bewege hierzu den Schieberegler [h] auf $h = 0$.
$(c \cdot u)'(x) = c \cdot u'(x)$
Erkläre selbst, wie man zu diesem Zusammenhang über die Ableitungen gelangt oder erläutere die folgende Herleitung. Begründe auch, dass die Herleitung nur gültig ist, wenn die Funktion $u$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist.
(d) Ergänze das Beispiel zur Verdeutlichung der Faktorregel.
Faktorregel
Wenn die Funktionen $u$ in einem Intervall $I$ differenzierbar ist, dann ist auch die mit einer reellen Zahl $c$ als Faktor vervielfachte Funktion $c \cdot u$ im Intervall $I$ differenzierbar und es gilt:
$(c \cdot u)'(x) = c \cdot u'(x)$
Kurz: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$
Beispiel
$f(x) = \underbrace{2}_{c} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{u(x)}$
$f'(x) = $
Die Summenregel herleiten
Wir gehen von der im Applet dargestellten Situation aus: Die Funktionen $u$ und $v$ werden zu einer Summenfunktion $u+v$ addiert.
Zum Herunterladen: mittlereaenderungsraten2.ggb
Aufgabe 2
(a) Im Applet sieht man, dass die sich die mittleren Änderungsraten von $u$ und $v$ zu einer Gesamtänderungsrate addieren:
$m_{u+v}(x,x+h) = m_{u}(x,x+h) + m_{v}(x,x+h)$
Versuche selbst, diesen Zusammenhang herzuleiten oder erläutere jeden Umformungsschritt in der folgenden Herleitung.
(b) Im Applet erkennt man auch, wie sich aus dem Zusammenhang über die mittleren Änderungsraten ein Zusammenhang über die entsprechenden Ableitungen ergibt.
$(u+v)'(x) = u'(x) + v'(x)$
Erkläre selbst, wie man zu diesem Zusammenhang über die Ableitungen gelangt oder erläutere die folgende Herleitung. Begründe auch, dass die Herleitung nur gültig ist, wenn die beiden Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind.
(c) Ergänze das Beispiel zur Verdeutlichung der Summenregel.
Summenregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ in einem Intervall $I$ differenzierbar sind, dann ist auch die Summenfunktion $u+v$ im Intervall $I$ differenzierbar und es gilt:
$(u+v)'(x) = u'(x) + v'(x)$
Kurz: $(u+v)' = u' + v'$
Beispiel
$f(x) = \underbrace{\sin(x)}_{u(x)} + \underbrace{\cos(x)}_{v(x)}$
$f'(x) = $
