Erarbeitung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du in einem Beispielkontext gesehen, dass eine Addition von Funktionen Sinn ergibt, wenn man Beiträge summieren möchte, die mit Funktionen beschrieben sind. Wir verallgemeinern hier dieses Vorgehen, indem wir Rechenoperationen für Funktionen einführen.
Funktionen rechnerisch kombinieren
Die Rechenoperationen Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren sind zur Verarbeitung von Zahlen vorgesehen. Wir führen jetzt analoge Rechenoperationen zur Verarbeitung von Funktionen ein.
Aufgabe 1
Das folgende Applet ist ähnlich wie ein Taschenrechner aufgebaut.
Nur werden hier – anders als bei einem üblichen Taschenrechner – nicht Zahlen, sondern Funktionen verarbeitet.
Probiere das selbst aus. Gib hierzu Funktionsgleichungen für die zu verarbeitenden Funktionen ein und aktiviere dann die Rechenoperation.
Angezeigt wird eine Funktionsgleichung und der Funktionsgraph zum Rechenergebnis
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Zum Herunterladen: funktionenrechner1.ggb
Aufgabe 2
(a) Betrachte die Funktionen $f$ mit $f(x) = x$ und $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x}$. Wie erhält man $(f+g)(1)$? Wie sollte man die Definitionsmenge der Funktion $f + g$ festlegen?
(b) Betrachte die Funktionen $f$ mit $f(x) = x$ und $g$ mit $g(x) = x-1$. Welche Schwierigkeit tritt auf, wenn man $(f/g)(1)$ bestimmen will? Wie sollte man die Definitionsmenge der Funktion $f / g$ festlegen?
Aufgabe 3
(a) Erläutere die folgende formale Definition zur Addition von Funktionen.
Addition von Funktionen
Die Addition von zwei Funktionen $f$ und $g$ ergibt eine neue Funktion $f+g$, mit der man Zahlen so verarbeitet:
$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
Jedem $x$-Wert wird also die Summe aus $f(x)$ und $g(x)$ zugeordnet. Beachte, dass die Funktion $f+g$ nur für die $x$-Werte definiert ist, für die sowohl $f$ als auch $g$ definiert ist.
Beachte auch, dass das Rechenzeichen $+$ hier in zwei Bedeutungen vorkommt: Wir benutzen es nach wie vor zum Addieren von Zahlen. Wir benutzen es aber auch zum Addieren von Funktionen.
(b) Formuliere analog eine Definition für die Subtraktion, Multiplikation oder Division von Funktionen.
Aufgabe 4
Im folgenden Applet wird eine Funktion mit einer (reellen) Zahl vervielfacht. Teste das Applet und beschreibe, was diese Multiplikation bewirkt.
Zum Herunterladen: funktionenrechner2.ggb
