Vertiefung

Die Umkehrregel mit der Kettenregel herleiten

Betrachte wieder eine umkehrbare Funktion $f$ und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Aufgabe 1

(a) Begründe anhand des Pfeildiagramms, dass $f(f^{-1}(x)) = x$ gilt.

$f \circ f^{-1}: x \stackrel{f^{-1}}{\rightarrow} y = f^{-1}(x) \stackrel{f}{\rightarrow} x = f(f^{-1}(x))$

(b) Erläutere, dass kann man den Zusammenhang in (a) mit Hilfe der Identitätsfunktion $i$ mit $i(x) = x$ so beschreiben kann:

$f \circ f^{-1} = i$

(c) Bilde die Ableitungen mit bekannten Regeln.

• $(f \circ f^{-1})'(x) = \dots$ (mit der Kettenregel)
• $i'(x) = \dots$ (mit der Potenzregel)

Kontrolle

• $(f \circ f^{-1})'(x) = f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x)$ (mit der Kettenregel)
• $i'(x) = 1$ (mit der Potenzregel)

(d) Leite jetzt die Umkehrregel her.

Kontrolle

Mit den Ergebnissen aus (c) erhält man $f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$. Durch Umformen erhält man die Formel zur Umkehrregel:

$(f^{-1})'(x) = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}}$