Vertiefung
Zur Orientierung
Wie leitet man eine Verkettung von Funktionen ab? Im letzten Abschnitt hast du eine Regel experimentell bestimmt. In diesem Abschnitt wird diese Regel argumentativ nachgewiesen. Bei der Herleitung greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Eine Regel herleiten
Diese Regel zum Ableitung eines Produkts von Funktionen soll hergeleitet werden.
Ketenregel
Wenn $f(x) = u(v(x))$, dann gilt $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.
Kurz: $(u \circ v)' = (u' \circ v) \cdot v'$
Aufgabe 1
In einem ersten Schritt wird der Term zur mittleren Änderungsrate $m_{u \cdot v}(x,x+h)$ geeignet umgeformt. Die (teils trickreichen) Umformungen sind in der Übersicht unten vorgegeben. Kommentiere jede Umformung, z.B. so:
- (1) Die Definition der mittleren Änderungsrate wird auf die Produktfunktion $u \cdot v$ angewandt.
- (2) ...
- (3) ...
- (4) ...
- (5) ...
| mittl. Änderungsr. | umgeformter Term | ||
|---|---|---|---|
| (1) | $m_{u \circ v}(x, x+h)$ | $=$ | $\displaystyle{\frac{(u \circ v)(x+h)-(u \circ v)(x)}{h}}$ |
| (2) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(v(x+h)) - u(v(x))}{h}}$ | |
| (3) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(v(x+h)) - u(v(x))}{h} \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{v(x+h) - v(x)}}$ | |
| (4) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(v(x+h)) - u(v(x))}{v(x+h) - v(x)} \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{h}}$ | |
| (5) | $=$ | $m_{u}(v(x),v(x+h)) \cdot m_{v}(x,x+h)$ |
Aufgabe 2
(a) In einem zweiten Schritt wird der Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchgeführt. Erkläre die folgende Übersicht.
$\begin{array}{lclclclcl} m_{u \circ v}(x,x+h) & = & m_{u}(v(x),v(x+h)) & \cdot & m_{v}(x,x+h) \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 \\ (u \circ v)'(x) & = & u'(v(x)) & \cdot & v'(x) \end{array}$
(b) Der Grenzprozess ist hier kompliziert. Im folgenden Applet wird er visualisiert und mit Hilfe konkreter Zahlenwerte verdeutlicht. Erläutere die Zusammenhänge anhand des Applets.
Zum Herunterladen: kettenregel_aenderungsraten.ggb
Das Applet basiert auf dem Applet Verkettung zweier Funktionen
.
[1]
Die Regel präzise formulieren
Mit den Argumentationen erhält man jetzt die folgende Regel zum Ableiten von Produkten von Funktionen.
Kettenregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind, dann ist auch die Verkettung $f = u \circ v$ an der Stelle $x $ differenzierbar und es gilt:
$f'(x) = \underbrace{u'(v(x))}_{\text{äußere Abl.}} \cdot \underbrace{v'(x)}_{\text{innere Abl.}}$
Kurz: $(u \circ v)' = (u' \circ v) \cdot v'$
Aufgabe 3
Ergänze die Beispiele zur Verdeutlichung der Kettenregel.
Beispiel 1
Gegeben sind zwei Funktionen:
- $v(x) = x^2$ (innere Funktion)
- $u(x) = \sin(x)$ (äußere Funktion)
Die Verkettung $u \circ v$ ergibt die Funktion $f$:
$f(x) = u(v(x)) = \dots$
Die Ableitung erhält man so:
$f'(x) = \dots$
Beispiel 2
Gegeben sind zwei Funktionen:
- $v(x) = \sin(x)$ (innere Funktion)
- $u(x) = x^2$ (äußere Funktion)
Die Verkettung $u \circ v$ ergibt die Funktion $f$:
$f(x) = u(v(x)) = \dots$
Die Ableitung erhält man so:
$f'(x) = \dots$
Quellen
- [1]: GeoGebra-Applet - Verkettung zweier Funktione - Urheber: G. Wengler -
