Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, die Entwicklung der NFT-Anfragen an die Suchmaschine Google mit einer Funktion zu beschreiben. Wir gehen dabei von den Daten zum NFT-Hype aus, die Google Trends liefert. In der folgenden Abbildung sind die Suchmaschinenanfragen für den Zeitraum vom 27.06.2021 bis 21.08.2022 dargestellt. Auf der $x$-Achse ist die Zeit in Wochen abgetragen, auf der $y$-Achse ein normierter Wert für die Anzahl der Anfragen (als Maß für die mediale Aufmerksamkeit). Die maximale Anzahl von Anfragen ist dabei auf den Wert $100$ gesetzt.
Die Entwicklung der NFT-Anfragen mit einem Peak-Modell beschreiben
Genau wie beim Labubu-Hype (im letzten Abschnitt) zeigen die Daten einen Anstieg mit einem darauf folgenden Abfall. Man kann daher versuchen, den NFT-Hype analog zum Labubu-Hype zu modellieren.
Modellierungsansatz: Peak-Modell
$f(x) = a \cdot x \cdot e^{-k \cdot x}$
$x$: Anzahl der Wochen ab Beobachtungsbeginn; $f(x)$: normierte Anzahl der Anfragen zum betrachteten Zeitpunkt
Aufgabe 1
Variiere im folgenden Applet die Parameter $a$ und $k$. Verdeutliche experimentell, dass das Peak-Modell nicht geeignet ist, um den NFT-Hype adäquat zu beschreiben.
Zum Herunterladen: nft_peakmodell.ggb
Die Entwicklung der NFT-Anfragen mit einem Glocken-Modell beschreiben
Wir wählen zur Modellierung des NFT-Hypes einen anderen Modellierungsansatz.
Modellierungsansatz: Glocken-Modell
$f(x) = a \cdot e^{b \cdot x - \frac{1}{2} c \cdot x^2}$
$x$: Anzahl der Wochen ab Beobachtungsbeginn; $f(x)$: normierte Anzahl der Anfragen zum betrachteten Zeitpunkt
Aufgabe 2
Im folgenden Applet kann man die Parameter $a$, $b$ und $c$ variieren. Bestimme experimentell passende Werte für die Parameter.
Zum Herunterladen: nft_glockenmodell_experimentell.ggb
Aufgabe 3
Gehe jetzt systematischer vor.
(a) Zeige, dass die Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x - \frac{1}{2} c \cdot x^2}$ ihren Hochpunkt an der Stelle $x_H = \frac{b}{c}$ hat.
(b) Zeige, dass man für die $y$-Koordinate des Hochpunktes $y_H = a \cdot e^{\frac{b^2}{2c}}$ erhält.
(c) Die Wendepunkte von $f$ mit $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x - \frac{1}{2} c \cdot x^2}$ liegen an den Stellen $x_{W_1} = \frac{b-\sqrt{c}}{c}$ und $x_{W_2} = \frac{b+\sqrt{c}}{c}$. Die rechnerische Herleitung ist komplex und muss hier nicht per Hand durchgeführt werden. Zeige, dass der horizontale Abstand dieser Wendepunkte $d_W = \frac{2}{\sqrt{c}}$ beträgt.
(d) Begründe:
- Wenn man $d_W$ vorgibt, kann man hieraus $c$ bestimmen.
- Wenn man zusätzlich $x_H$ vorgibt, kann man auch $b$ bestimmen.
- Wenn man auch noch $y_H$ vorgibt, kann man schließlich auch $a$ bestimmen.
(e) Im folgenden Applet kann man $x_H$, $y_H$ und $d_W$ variieren. Die Werte für $a$, $b$ und $c$ werden dann nach den Formeln aus (a) .. (c) angepasst. Stelle die Werte für $x_H$, $y_H$ und $d_W$ so ein, dass sie möglichst gut zu den NFT-Daten passen. Das Applet liefert dir dann die gesuchte Modellierungsfunktion.
Zum Herunterladen: nft_glockenmodell_anpassung.ggb
(f) Erläutere: Die Modellierung des NFT-Hypes mit einer Funktion basiert auf Annahmen. Jeder Modellierungsfunktion erfasst die Daten in der Regel nur näherungsweise.
