Übungen – Logistisches Wachstum

Aufgabe 1

Auf einer Insel hat sich eine neue schnelle ausbreitende invasive Tierpopulation etabliert. Biologen gehen von folgenden Annahmen aus:

• Die Entwicklung ist sehr dynamisch. Wir gehen aktuell von exponentiellem Wachstum mit einer jährlichen Wachstumskonstanten $k = 0.15$ aus.
• Aktuell beträgt der Bestand $400$ Tiere.
• Langfristig können nur maximal $2500$ Tiere auf der Insel leben.

(a) Kläre zunächst folgende Fragen:

• Warum kann man die langfristige Entwicklung der Tierpopulation nicht mit einem exponentiellen Wachstumsmodell beschreiben?
• Warum eignet sich bgrenztes Wachstum ebenfalls nicht zur Beschreibung der Entwicklung der Tierpopulation?
• Warum passt ein logistisches Wachstumsmodell am ehesten zur Beschreibung der Entwicklung der Tierpopulation?

(b) Die Biologen beschreiben die Populationsentwicklung mit der Differentialgleichung $f'(x) = \frac{0.15}{2500} \cdot f(x) \cdot (2500 - f(x))$. Die Variable $x$ erfasst dabei die Zeit in Jahren und $f(x)$ die zugehörige Anzahl der Tiere. Erläutere, welche der oben aufgeführten Annahmen mit dieser DGL erfasst bzw. nicht erfasst werden. Erläutere auch, welche zusätzliche Annahme in dieser Differentialgleichung steckt.

(c) Beschreibe die Populationsentwicklung mit einer Funktion, die die logistische Differentialgleichung $f'(x) = \frac{0.15}{2500} \cdot f(x) \cdot (2500 - f(x))$ erfüllt.

(d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem das beschleunigte Wachstum in gebremstes Wachstum übergeht.

Aufgabe 2

Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt auf den Markt.

(a) Begründe, warum man die Markteinführung eines neuen Produkts oft mit einem logistisches Wachstumsmodell beschreibt.

(b) Marktanalysen haben folgende Daten ergeben:

• Die maximale Verkaufszahl wird auf 1.2 Millionen Produkte geschätzt.
• Zum Zeitpunkt $x = 0$ sind bereits $50000$ Produkte verkauft.
• Nach $1$ Jahr sind ca. $90000$ Produkte im Umlauf.

Beschreibe die Entwicklung der Verkaufszahlen mit einer Differentialgleichung und mit einer Funktionsgleichung.

(c) Kläre mit Hilfe der Funktionsgleichung, wann das Unternehmen damit rechnen kann, dass $50 \%$ (bzw. $90 \%$ bzw. $99 \%$) der erwarteten maximalen Verkaufszahl erreicht ist.

Aufgabe 3

Logistisches Wachstum haben wir mit der folgenden DGL beschrieben:

$f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$

(a) Begründe, dass man auch diese DGL benutzen kann:

$f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (1 - \frac{f(x)}{G})$

(b) Man kann die DGL auch etwas umstellen:

• $f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (1 - \frac{f(x)}{G}) = k \cdot (1 - \frac{f(x)}{G}) \cdot f(x)$
• $f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = k \cdot \frac{f(x)}{G} \cdot (G - f(x))$

Deute $\frac{f(x)}{G}$. Nutze die umgestellten Differentialgleichungen, um das Wachstumsverhalten in der Expansions- und Sättigungsphase zu beschreiben.

Aufgabe 4

Mais ist eine schnell wachsende Pflanze. Eine Messreihe hat die im Applet dargestellten Daten ergeben. Die Messwerte werden angezeigt, wenn man den orange dargestellten Punkt über die Messpunkte bewegt.

Zum Herunterladen: wachstummais.ggb

(a) Warum ist es sinvoll, das Wachstum einer Maispflanze mit einem logistischen Wachstumsmodell zu beschreiben? Recherchiere zur Klärung, welche Faktoren das Wachstum einer Maispflanze beeinflussen.

(b) Die Datenpunkte liegen auf den ersten Blick nicht auf einer perfekten logistischen S-Kurve. Warum erschwert das die Modellierung mit einer Funktion?

(c) Im Applet kannst du mit den Schiebereglern experimentell die Parameterwerte $G$, $k$ und $c$ einstellen. Zum Überprüfen und Abgleichen kannst du eine automatisiert ermittelte logistische Trendlinie einblenden.

(d) Bestimme für deine experimentell ermittelten logistischen Funktion die momentane Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt. Die gibt dir einen Anhaltspunkt, wie schnell eine Maispflanze wachsen kann.