Zusammenfassung – Kettenregel
Ein Beispiel
Wir betrachten die Situation, dass zwei Funktionen miteinander verkettet eine neue Funktion ergeben.
Im vorliegenden Beispiel kann man die Funktion $f$ mit $f(x) = \sin(x^2)$ als Verkettung von $u$ und $v$ mit $u(x) = \sin(x)$ und $v(x) = x^2$ darstellen:
$f = u \circ v: x \stackrel{v}{\rightarrow} x^2 \stackrel{u}{\rightarrow} \sin(x^2)$
Wie leitet man eine solche verkettete Funktion ab? Das Applet verdeutlicht, wie das geht.
Zum Herunterladen: kettenregel.ggb
Eine Ableitungsregel für verkettete Funktionen
Eine Verkettung von Funktionen leitet man mit der Kettenregel ab.
Kettenregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind, dann ist auch die Verkettung $f = u \circ v$ an der Stelle $x $ differenzierbar und es gilt:
$f'(x) = \underbrace{u'(v(x))}_{\text{äußere Abl.}} \cdot \underbrace{v'(x)}_{\text{innere Abl.}}$
Kurz: $(u \circ v)' = (u' \circ v) \cdot v'$
Hier zwei Beispiele zur Verdeutlichung der Kettenregel.
Beispiel 1
Gegeben sind zwei Funktionen:
- $v(x) = x^2$ (innere Funktion)
- $u(x) = \sin(x)$ (äußere Funktion)
Die Verkettung $u \circ v$ ergibt die Funktion $f$:
$f(x) = u(v(x)) = \sin(x^2)$
Mit $u'(x) = \cos(x)$ und $v'(x) = 2x$ erhält man die Ableitung von $f$ so:
$f'(x) = \underbrace{\cos(x^2)}_{u'(v(x))} \cdot \underbrace{2x}_{v'(x)}$
Beispiel 2
Gegeben sind zwei Funktionen:
- $v(x) = \sin(x)$ (innere Funktion)
- $u(x) = x^2$ (äußere Funktion)
Die Verkettung $u \circ v$ ergibt die Funktion $f$:
$f(x) = u(v(x)) = (\sin(x))^2$
Mit $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = \cos(x)$ erhält man die Ableitung von $f$ so:
$f'(x) = \underbrace{2 \sin(x)}_{u'(v(x))} \cdot \underbrace{\cos(x)}_{v'(x)}$
Herleitung der Kettenregel
Bei der Herleitung der Kettenregel greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück. Die folgende Übersicht fasst den inhaltlichen Kern dieser Definition zusammen.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Bei der Herleitung zur Kettenregel gehen wir von einer Verkettung $u \circ v$ aus.
Schritt 1: Wir formen den Term zur mittleren Änderungsrate $m_{u \circ v}(x,x+h)$ geeignet um.
| mittl. Änderungsr. | umgeformter Term | ||
|---|---|---|---|
| (1) | $m_{u \circ v}(x, x+h)$ | $=$ | $\displaystyle{\frac{(u \circ v)(x+h)-(u \circ v)(x)}{h}}$ |
| (2) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(v(x+h)) - u(v(x))}{h}}$ | |
| (3) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(v(x+h)) - u(v(x))}{h} \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{v(x+h) - v(x)}}$ | |
| (4) | $=$ | $\displaystyle{\frac{u(v(x+h)) - u(v(x))}{v(x+h) - v(x)} \cdot \frac{v(x+h) - v(x)}{h}}$ | |
| (5) | $=$ | $m_{u}(v(x),v(x+h)) \cdot m_{v}(x,x+h)$ |
Schritt 2: Wir führen den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durch.
$\begin{array}{lclclclcl} m_{u \circ v}(x,x+h) & = & m_{u}(v(x),v(x+h)) & \cdot & m_{v}(x,x+h) \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 \\ (u \circ v)'(x) & = & u'(v(x)) & \cdot & v'(x) \end{array}$
Der in der Übersicht gezeigte Grenzprozess setzt voraus, dass die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind. Der Grenzprozess ist kompliziert. Im folgenden Applet wird er visualisiert und mit Hilfe konkreter Zahlenwerte verdeutlicht.
Zum Herunterladen: kettenregel_aenderungsraten.ggb
Das Applet basiert auf dem Applet Verkettung zweier Funktionen
.
[1]
Quellen
- [1]: GeoGebra-Applet - Verkettung zweier Funktione - Urheber: G. Wengler -
