Zusammenfassung – Faktor- und Summenregel
Die Ausgangssituation
Wir betrachten die Situation, dass zwei Funktionen wie in der Abbildung rechnerisch miteinander kombiniert werden.
Zur Ableitung einer solchen Funktion benötigt man zwei Ableitungsregel: eine Regel zum Ableiten einer Vervielfachung einer Funktion mit einer reellen Zahl sowie eine Regel zum Ableiten von Summen aus zwei Funktionen. Diese beiden Regeln werden im Folgenden vorgestellt.
Die Faktorregel
Das Applet verdeutlicht, wie man das Produkt aus einer Funktion $u$ mit einer reellen Zahl $c$ ableitet.
Zum Herunterladen: faktorregel.ggb
Faktorregel
Wenn die Funktionen $u$ in einem Intervall $I$ differenzierbar ist, dann ist auch die mit einer reellen Zahl $c$ als Faktor vervielfachte Funktion $c \cdot u$ im Intervall $I$ differenzierbar und es gilt:
$(c \cdot u)'(x) = c \cdot u'(x)$
Kurz: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$
Beispiel
$f(x) = \underbrace{2}_{c} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{u(x)}$
$f'(x) = \underbrace{2}_{c} \cdot \underbrace{\cos(x)}_{u'(x)}$
Bei der Herleitung der Faktorregel greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück. Die folgende Übersicht fasst den inhaltlichen Kern dieser Definition zusammen.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Wir gehen hier wir von einer vervielfachten Funktion $c \cdot u$ aus.
Schritt 1: Wir formen den Term zur mittleren Änderungsrate $m_{c \cdot u}(x,x+h)$ geeignet um.
$\begin{array}{lcl} m_{c \cdot u}(x,x+h) & = & \displaystyle{\frac{(c \cdot u)(x+h)-(c \cdot u)(x)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{c \cdot u(x+h) - c \cdot u(x)}{h}} \\ & = & c \cdot \displaystyle{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}} \\ & = & c \cdot m_{u}(x,x+h) \end{array}$
Schritt 2: Wir führen den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durch.
$\begin{array}{lclcl} m_{c \cdot u}(x,x+h) & = & c & \cdot & m_{u}(x,x+h) \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 \\ (c \cdot u)'(x) & = & c & \cdot & u'(x) \end{array}$
Beachte: Der in der Übersicht gezeigte Grenzprozess setzt voraus, dass die Funktion $u$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist.
Die Summenregel
Das Applet verdeutlicht, wie man eine Summe $u+v$ aus zwei Funktionen $u$ und $v$ ableitet.
Zum Herunterladen: summenregel.ggb
Summenregel
Wenn die Funktionen $u$ und $v$ in einem Intervall $I$ differenzierbar sind, dann ist auch die Summenfunktion $u+v$ im Intervall $I$ differenzierbar und es gilt:
$(u+v)'(x) = u'(x) + v'(x)$
Kurz: $(u+v)' = u' + v'$
Beispiel
$f(x) = \underbrace{\sin(x)}_{u(x)} + \underbrace{\cos(x)}_{v(x)}$
$f'(x) = \underbrace{\cos(x)}_{u(x)} + (\underbrace{-\sin(x)}_{v(x)})$
Bei der Herleitung der Faktorregel greifen wir auf die Definition der Ableitung zurück. Die folgende Übersicht fasst den inhaltlichen Kern dieser Definition zusammen.
| Definition | Deutung |
|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \quad \;\;\;\;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \\ f'(x) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} & = & \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}\\ \quad\quad \downarrow \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & & \\ \text{Ableitung als lokale Änderungsrate} & & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}} \end{array}$ |
Wir gehen hier von einer Summe $u+v$ von zwei Funktionen aus.
Schritt 1: Wir formen den Term zur mittleren Änderungsrate $m_{u+v}(x,x+h)$ geeignet um.
$\begin{array}{lcl} m_{u+v}(x,x+h) & = & \displaystyle{\frac{(u+v)(x+h)-(u+v)(x)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(u(x+h)+v(x+h))-(u(x)+v(x))}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(u(x+h)-u(x))+(v(x+h)-v(x))}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}} + \displaystyle{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}} \\ & = & m_{u}(x,x+h) + m_{v}(x,x+h) \end{array}$
Schritt 2: Wir führen den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durch.
$\begin{array}{lclcl} m_{u+v}(x,x+h) & = & m_{u}(x,x+h) & + & m_{v}(x,x+h) \\ \quad\; \downarrow h \rightarrow 0 & \phantom{ \displaystyle{\frac{\text{X}}{\text{Y}}}} & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 & & \;\; \downarrow h \rightarrow 0 \\ (u+v)'(x) & = & u'(x) & + & v'(x) \end{array}$
Beachte: Der in der Übersicht gezeigte Grenzprozess setzt voraus, dass die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar sind.
