Übungen – Kettenregel
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion mit der Kettenregel.
(a)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = (4x + 2)^3$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = (2 - x)^4$ | $f'(x) = $ |
| (3) | $f(x) = (x - 2)^5$ | $f'(x) = $ |
| (4) | $f(x) = (3 - 2x^2)^2$ | $f'(x) = $ |
(b)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = \cos(3x)$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = \sin(\pi - x)$ | $f'(x) = $ |
| (3) | $f(x) = - \cos(x + \frac{\pi}{2})$ | $f'(x) = $ |
| (4) | $f(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ | $f'(x) = $ |
(c)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = \frac{1}{2-x}$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ | $f'(x) = $ |
| (3) | $f(x) = \sqrt{4x^3}$ | $f'(x) = $ |
| (4) | $f(x) = \sqrt{4 - 2x}$ | $f'(x) = $ |
(d)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = e^{2x}$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = e^{-x}$ | $f'(x) = $ |
| (3) | $f(x) = e^{x^2}$ | $f'(x) = $ |
| (4) | $f(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{2}}$ | $f'(x) = $ |
Überprüfe deine Ergebnisse im Applet.
Zum Herunterladen: kettenregel.ggb
Aufgabe 2
Hier wurde jeweils die Kettenregel nicht richtig angewandt. Erkläre, welcher Fehler gemacht wurde. Gib auch die korrekte Ableitungsfunktion an.
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = (3x^2 + 1)^4$ | $f'(x) = 4(3x^2 + 1)^3$ |
| (2) | $f(x) = \cos(1 - x)$ | $f'(x) = \sin(1 - x) \cdot (-1)$ |
| (3) | $f(x) = (3 - 2x)^5$ | $f'(x) = 5(3 - 2x)^4 \cdot 2$ |
| (4) | $f(x) = \sin(x^2 + x)$ | $f'(x) = \cos(x^2 + x) \cdot 2x + 1$ |
Aufgabe 3
Leite die Funktionen mit der Kettenregel ab. Beachte, dass du die Kettenregel hier mehrfach benutzen musst.
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = (\sin(2x))^4$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = \sqrt{1 + (\cos(x))^2}$ | $f'(x) = $ |
| (3) | $f(x) = \frac{1}{(2-x)^3}$ | $f'(x) = $ |
| (4) | $f(x) = u(v(w(x)))$ | $f'(x) = $ |
Aufgabe 4
Leite die Funktionen ab. Beachte, dass du neben der Kettenregel auch die Produkt- und Quotientenregel benutzen musst.
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = x^2 \cdot (1-2x)^3$ | $f'(x) = $ |
| (2) | $f(x) = x \cdot e^{-x}$ | $f'(x) = $ |
| (3) | $f(x) = x^2 \cdot (\sin(x))^2$ | $f'(x) = $ |
| (4) | $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}}$ | $\displaystyle{f'(x) = }$ |
Aufgabe 5
Betrachte (wie im Applet) eine Situation, in der $f(x) = u(v(x))$ gilt.
Zum Herunterladen: verkettung_mit_grafik.ggb
Stimmen die folgenden Aussagen? Begründe jeweils.
- Wenn $v$ an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente hat, dann hat auch $f$ an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente (sofern $f$ an der Stelle $x$ definiert ist).
- Wenn $u$ an der Stelle $x_1$ eine horizontale Tangente hat und wenn zusätzlich $x_1 = v(x_0)$ gilt, dann hat auch $f$ an der Stelle $x_0$ eine horizontale Tangente (sofern $f$ an der Stelle $x_0$ definiert ist).
Aufgabe 6
(a) Betrachte die (im Applet gezeigte) Situation, dass $f(x) = g(x+b)$ mit einer reellen Zahl $b$ gilt. Im Applet kann man den roten Punkt auf der $x$-Achse bewegen.
Zum Herunterladen: verschiebenx.ggb
- Deute die Beziehung $f(x) = g(x+b)$ punktweise. Ergänze hierzu:
Für z.B. $b = 2$ hat $f$ an einer Stelle $x$ denselben Funktionswert wie ... . - Deute die Beziehung $f(x) = g(x+b)$ als Verschiebung von Graphen. Ergänze hierzu:
Graph $f$ erhält man aus Graph $g$, indem man ... . - Begründe, dass $f'(x) = g'(x+b)$ gilt. Deute auch diese Beziehung. Ergänze hierzu:
Die Steigung von Graph $f$ an einer Stelle $x$ ... .
(b) Betrachte die (im Applet gezeigte) Situation, dass $f(x) = g(a \cdot x)$ mit einer reellen Zahl $a \neq 0$ gilt. Im Applet kann man den roten Punkt auf der $x$-Achse bewegen.
Zum Herunterladen: streckenx.ggb
- Deute zunächst die Beziehung $f(x) = g(a \cdot x)$ punktweise. Ergänze hierzu:
Für z.B. $a = 2$ hat $f$ an einer Stelle $x$ denselben Funktionswert wie ... . - Deute die Beziehung $f(x) = g(a \cdot x)$ als Streckung von Graphen in $x$-Richtung. Ergänze hierzu:
Graph $f$ erhält man aus Graph $g$, indem man ... . - Begründe, dass $f'(x) = a \cdot g'(a \cdot x)$ gilt. Deute auch diese Beziehung. Ergänze hierzu:
Die Steigung von Graph $f$ an einer Stelle $x$ ... .
(c) Betrachte die (im Applet gezeigte) Situation, dass $f(x) = g(a \cdot x + b)$ mit reellen Zahl $a \neq 0$ und $b$ gilt. Im Applet kann man den roten Punkt auf der $x$-Achse bewegen.
Zum Herunterladen: transformation1x.ggb
Kläre folgende Fragen:
- Wie erhält man hier Graph $f$ aus Graph $g$?
- Wie wirkt sich das auf die Steigungen aus?
(d) Betrachte abschließend die Situation, dass $f(x) = c \cdot g(a \cdot x + b) + d$ mit reellen Zahl $a \neq 0$, $b$, $c \neq 0$ und $d$ gilt.
Zum Herunterladen: transformation2.ggb
Kläre folgende Fragen:
- Wie erhält man hier Graph $f$ aus Graph $g$?
- Wie wirkt sich das auf die Steigungen aus?
