Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, die Entwicklung der Labubu-Anfragen an die Suchmaschine Google mit einer Funktion zu beschreiben. Wir gehen dabei von den Daten zum Labubu-Hype aus, die Google Trends liefert. In der folgenden Abbildung sind die Suchmaschinenanfragen für den Zeitraum vom 04.05.2025 bis 11.01.2026 dargestellt. Auf der $x$-Achse ist die Zeit in Wochen abgetragen, auf der $y$-Achse ein normierter Wert für die Anzahl der Anfragen (als Maß für die mediale Aufmerksamkeit). Die maximale Anzahl von Anfragen ist dabei auf den Wert $100$ gesetzt.
Die Entwicklung der Labubu-Anfragen mit Funktionen modellieren
Die Daten in der Abbildung zeigen zunächst einen schnellen, fast-linearen Anstieg der Anfragen gefolgt von einem scheinbar exponentiellem Abfall des Anfrageaufkommens. Zur Modellierung kombinieren wir eine lineare Funktion mit einer fallenden Exponentialfunktion.
Modellierungsansatz
$f(x) = a \cdot x \cdot e^{-k \cdot x}$
$x$: Anzahl der Wochen ab Beobachtungsbeginn; $f(x)$: normierte Anzahl der Anfragen zum betrachteten Zeitpunkt
Im folgenden Applet kann man die Graphen solcher Funktion einstellen.
Zum Herunterladen: labubu_modell2.ggb
Aufgabe 1
Variiere im Applet die Parameter $a$ und $k$. Beschreibe in Worten, wie die Graphen zu den jeweiligen Funktionen aussehen. Kläre so, inwieweit der gewählte Modellierungsansatz hier sinnvoll ist.
Aufgabe 2
Probiere, experimentell die Parameter $a$ und $k$ so einzustellen, dass der resultierende Graph gut zur Datenlage passt.
Aufgabe 3
(a) Gehe jetzt systematischer vor. Zeige rechnerisch:
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = a x e^{-k \cdot x}$ hat ihren Hochpunkt im Punkt $H(\frac{1}{k}|\frac{a}{k \cdot e})$.
- Die Funktion $f$ mit $f(x) = a x e^{-k \cdot x}$ hat ihren Wendepunkt im Punkt $H(\frac{2}{k}|\frac{2 \cdot a}{k \cdot e^2})$.
(b) Schätze in den Daten grob sinnvoll Koordinaten für den Hochpunkt des Labubu-Hypes ab. Ermittle mit diesen Koordinaten Werte für die Parameter $a$ und $k$.
(c) Schätze in den Daten grob sinnvoll Koordinaten für den Wendepunkt des Labubu-Hypes ab. Ermittle mit diesen Koordinaten Werte für die Parameter $a$ und $k$.
(d) Teste die Ergebnisse aus (b) und (c) im Applet oben.
