Vertiefung

Das Glocken-Modell deuten

Betrachte noch einmal den folgenden Modellierungsansatz.

Aufgabe 1

Zeige, dass die Funktion $f$ folgende Differentialgleichung erfüllt:

$f'(x) = (b - c \cdot x) \cdot f(x)$

Aufgabe 2

Variiere im Applet mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse den $x$-Wert. Beobachte, wie sich hierdurch die Steigung $f'(x)$ und ihre Beziehung zu $f(x)$ ändert. Verdeutliche die folgenden Aussagen.

• Für kleine $x$-Werte dominiert $b$ gegenüber $c \cdot x$. Mit $b - c \cdot x > 0$ erhält man $f'(x) = (b - c \cdot x) \cdot f(x) > 0$. Der Bestand wächst also.
• Wenn $x$ so groß ist, dass $b - c \cdot x = 0$ ist, dann erhält man $f'(x) = (b - c \cdot x) \cdot f(x) = 0$. Der Bestand stagniert momentan.
• Für große $x$-Werte dominiert $c \cdot x$ gegenüber $b$. Mit $b - c \cdot x \lt 0$ erhält man $f'(x) = (b - c \cdot x) \cdot f(x) \lt 0$. Der Bestand nimmt wieder ab.

Zum Herunterladen: vergifteteswachstum.ggb

Aufgabe 3

Mache dir folgende Zusammenhänge nochmal klar.

• Der Parameter $b$ ist der Wachstumstreiber. Dieser Parameter sorgt dafür, dass für kleine $x$-Werte der Bestand wächst.
• Der Term $c \cdot x$ ist der Wachstumshemmer. Mit wachsenden $x$ gewinnt dieser Term immer mehr an Bedeutung und sorgt dafür, dass das Wachstum zum Stillstand kommt und schließlich in einen Zerfall übergeht. Diesen Term kann man daher als eine Art Giftterm ansehen.
• Ein Wachstum, das mit der Differentialgleichung $f'(x) = (b - c \cdot x) \cdot f(x)$ beschrieben wird, wird auch als vergiftetes Wachstum bezeichnet.

Aufgabe 4

Mache dir klar, warum man den NFT-Hype mit dem Modell des vergifteten Wachstums beschreiben kann. Kläre hierzu folgende Fragen:

• Warum ist es sinnvoll, einen Wachstumstreiber einzuführen?
• Warum ist es sinnvoll, die Zeit als Wachstumshemmers anzusehen?