Erarbeitung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurden Halbkreise mit Funktionen beschrieben. Ziel ist es hier, eine Ableitungsregel zu entwickeln, mit der man solche Halbkreisfunktionen ableiten kann.
Die Halbkreisfunktion analysieren
Betrachte einen Halbkreis mit dem Mittelpunkt $(0|0)$ und dem Radius $r = 4$. Ein solcher Halbkreis lässt sich mit einer Funktion $k$ mit der Funktionsgleichung $k(x) = \sqrt{4^2 - x^2}$ beschreiben. Bearbeite die Aufgabe untrer dem Applet.
Zum Herunterladen: halfpipe2.ggb
Aufgabe 1
(a) Zeige: Die Funktion $k$ kann man wie folgt als Verkettung von zwei Teilfunktionen $u$ und $v$ darstellen. Gib hierzu die Funktionsgleichungen der beiden Teilfunktionen an.
$k = u \circ v: x \stackrel{v}{\rightarrow} 16 - x^2 \stackrel{u}{\rightarrow} \sqrt{16 - x^2}$
(b) Begründe und ergänze.
- Die Funktion $u$ kann man mit der Potenzregel (für beliebige Exponenten) ableiten. Es gilt $u'(x) = \dots$.
- Die Funktion $v$ kann man mit der Potenzregel (für natürliche Exponenten) sowie der Summenregel ableiten. Es gilt $v'(x) = \dots$.
- Es fehlt noch eine Ableitungsregel, um verkettete Funktionen abzuleiten.
(c) Begründe: Wenn man (mit einer noch zu bestimmenden Ableitungsregel) die Halbkreisfunktion $k(x) = \sqrt{16 - x^2}$ ableiten kann, dann kann man auch die Halfpipefunktion $f(x) = 4 - \sqrt{16 - x^2}$ ableiten.
Eine Ableitungsregel für verkettete Funktionen experimentell ermitteln
Verwende das folgende Applet, um experimentell eine Ableitungsregel für verkettete Funktionen zu ermitteln. Bearbeite hierzu die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: kettenregel.ggb
Aufgabe 2
(a)
Ermittle in einer Lernphase
Ableitungen von verketteten Funktionen. Benutze hierzu das Applet.
Trage interessante
Ergebnisse in eine Tabelle ein.
| $v(x)$ | $u(x)$ | $f(x) = u(v(x))$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|---|---|
| (1) | $v(x) = x^2$ | $u(x) = \sin(x)$ | $f(x) = \sin(x^2)$ | $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$ |
| (2) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = $ | $f'(x) = $ |
| (3) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = $ | $f'(x) = $ |
| (4) | $v(x) = $ | $u(x) = $ | $f(x) = $ | $f'(x) = $ |
(b)
Ermittle in einer Analysephase
eine allgemeine Regel zum Ableiten verketteter Funktion.
Formuliere die Regel in Worten oder formal so:
Kettenregel
Wenn $f(x) = u(v(x))$, dann gilt $f'(x) = \dots$.
(c)
Jetzt kommt die Testphase
. Ermittle mit der gefundenen Regel die Ableitung der Halbkreisfunktion:
Für $k(x) = \sqrt{4 - x^2}$ gilt $k'(x) = \dots$.
Überprüfe das Ergebnis im Applet.
(d)
Wenn die Testphase
erfolgreich war, dann bestimme auch die Ableitung der Halfpipefunktion:
Für $f(x) = 4 - \sqrt{4 - x^2}$ gilt $f'(x) = \dots$.
Nutze die Ableitung der Halfpipefunktion, um folgende Fragen zu klären:
- Wie groß ist die Steigung der Halfpipe an der Stelle $x = 2$ und an der Stelle $x = 3$?
- An welchen Stellen hat die Steigung der Halfpipe den Wert $1$?
- Welches ist der maximale Steigungswert der Halfpipe?
