Vertiefung

Eine Funktionsgleichung umformen

Aufgabe 1

Gegeben die Funktion $f$ mit $f(x) = -0.5x + 2$ mit $-\infty \leq x \le \infty$. Gesucht ist eine Funktionsgleichung für die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion4.ggb

Aufgabe 1

(a) Vergewissere dich zunächst, dass die Funktion $f$ (mit der vorgegebenen Definitionsmenge) umkehrbar ist.

(b) Die Funktion gibt die Zuordnung $x \rightarrow y = -0.5x + 2$ vor. Um die Umkehrzuordnung $y \rightarrow x = \dots$ zu erhalten, löst man die Gleichung $y = -0.5x + 2$ nach $x$ auf. Zeige, dass man dann $x = -2y+4$ erhält.

Zur Kontrolle

$\begin{array}{lcl} y & = & -0.5x + 2 \\ y-2 & = & -0.5x \\ -2(y-2) & = & x \\ -2y+4 & = & x \end{array}$

(c) Die Standarddarstellung der Umkehrfunktion erhält man, indem man in der Darstellung $x = -2y+4$ die Namen der beiden Variablen $x$ und $y$ vertauscht. Für die Umkehrfunktion von $f$ erhält man also:

$f^{-1}(x) = -2x+4$

Überprüfe das Ergebnis im Applet. Ergänze auch die Definitionsmenge dieser Umkehrfunktion.

Aufgabe 2

Gegeben die Funktion $f$ mit $f(x) = (x+2)^2 + 1$ mit $-2 \leq x \le \infty$. Gesucht ist eine Funktionsgleichung für die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Zum Herunterladen: umkehrfunktion4.ggb

(a) Vergewissere dich zunächst, dass die Funktion $f$ (mit der vorgegebenen Definitionsmenge) umkehrbar ist.

(b) Bestimme eine Funktionsgleichung für die Umkehrfunktion $f^{-1}$. Gehe analog zur Aufgabe 1 vor.

Zur Kontrolle

Schritt 1: Die Funktionsgleichung von $f$ nach $x$ auflösen

$\begin{array}{lcr} y & = & (x+2)^2 + 1 \\ y-1 & = & (x+2)^2 \\ \sqrt{y-1} & = & x+2 \\ \sqrt{y-1} - 2 & = & x \end{array}$

Schritt 2: Die Rollen von $x$ und $y$ vertauschen

$y = \sqrt{x-1} - 2$

Schritt 3: Die Umkehrfunktion mit ihrer Definitionsmenge beschreiben

$f^{-1}(x) = \sqrt{x-1} - 2$ mit $1 \leq x \lt \infty$