Überprüfung – Umkehrregel
Aufgabe 1
Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x^2$ und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit $f^{-1}(x) = \sqrt{2x}$ (jeweils mit $0 \lt x \lt \infty$).
Bestimme die Ableitungsfunktion $(f^{-1})'$ mit der Umkehrregel und mit der verallgemeinerten Potenzregel.
Kontrolle
Mit $f'(x) = x$ erhält man mit Hilfe der Umkehrregel:
$(f^{-1})'(x) = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}} = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2x}}}$
Wenn man die verallgemeinerte Potenzregel (und die Kettenregel) auf $f^{-1}(x) = \sqrt{2x} = (2x)^{\frac{1}{2}}$ anwendet, ergibt sich:
$\displaystyle{(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{2 (2x)^\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}}$
