ZUsammenfassung – Begrenztes Wachstum
Wachstum mit einer Grenze
Es gibt zahlreiche Wachstum- und Abnahmeprozesse, die mit folgenden Annahmen modelliert werden können:
- Der Bestand $f(x)$ nähert sich einer Grenze $G$.
- Die Annäherung erfolgt von einem Startwert $a$ aus so, dass die Abweichung des Bestandes von der Grenze exponentiell abnimmt.
| Modellierung einer Gerüchtausbreitung | Modellierung eines Abkühlungsprozesses |
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Begrenztes Wachstum
Die Funktion $B$ beschreibe das Wachstum (bzw. die Abnahme) eines Bestandes. Es liegt ein begrenztes Wachstum mit einer Grenze $G$ vor, wenn die Abweichung des Bestandes von der Grenze exponentiell abnimmt.
Funktionen zur Beschreibung von begrenztem Wachstum
Wenn man die Wachstumskonstande $k$ der exponentiell abnehmenden Abweichung $d(x)$ kennt, dann kann man direkt Funktionsgleichungen für die Differenzfunktion $d(x)$ und die Bestandsfunktion $f(x)$ angeben.
| Modellierung einer Gerüchtausbreitung | Modellierung eines Abkühlungsprozesses |
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| Grenze: $G = 6000$ | Grenze: $G = 20$ |
| Ausgangsbestand: $a = f(0) = 400$ | Ausgangsbestand: $a = f(0) = 90$ |
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$d(x) = G - f(x)$: exponentielle Abnahme mit der Wachstumskonstante (bzw. Annäherungsrate) $k = 0.21$ |
$d(x) = f(x) - G$: exponentielle Abnahme mit der Wachstumskonstante (bzw. Annäherungsrate) $k = 0.1$ |
| $d(x) = \underbrace{5600}_{G-a} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 x}}_{\text{exp. Abnahme}}$ | $d(x) = \underbrace{70}_{a-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 x}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
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$f(x) = \underbrace{6000}_{G} - \underbrace{5600}_{G-a} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 x}}_{\text{exp. Abnahme}}$ $f(x) = \underbrace{6000}_{G} + \underbrace{(-5600)}_{a-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 x}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
$f(x) = \underbrace{20}_{G} + \underbrace{70}_{a-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 x}}_{\text{exp. Abnahme}}$ $f(x) = \underbrace{20}_{G} - \underbrace{(-70)}_{G-a} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 a}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
Beschreibung eines begrenzten Wachstums
Wenn die Funktion $f$ ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G$ beschreibt, dann gibt es eine Wachstumskonstante bzw. Annäherungsrate $k$, so dass man mit $a = f(0)$ die Bestandsentwicklung $f(x)$ so beschreiben kann:
$f(x) = G + (a-G) \cdot e^{-k x}$ bzw. $f(x) = G - (G-a) \cdot e^{-k x}$
Differentialgleichung zur Beschreibung von begrenztem Wachstum
Betrachte ein begrenztes Wachstum mit $f(x) = G + (a-G) \cdot e^{-k x}$. Für die Ableitung $f'(x)$ erhält man:
$f'(x) = (a - G) \cdot e^{-k x} \cdot (-k) = -k \cdot (a - G) \cdot e^{-k x}$
Für die (positive oder negative) Abweichung des Bestandes $f(x)$ zur Grenze $G$ erhält man:
$G - f(x) = G - (G + (a - G) \cdot e^{-k x}) = - (a - G) \cdot e^{-k x}$
Es gilt also:
$f'(x) = k \cdot (G - f(x))$
Der Zusammenhang $f'(x) = k \cdot (G - f(x))$ besagt, dass die momentane Änderung des Bestandes zur momentanen Abweichung des Bestandes von der Grenze proportional ist.
Beachte: In der Gleichung $f'(x) = k \cdot (G - f(x))$ wird (mit Hilfe der Konstanten $k$ und $G$) ein Zusammenhang zwischen der Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$ hergestellt. Eine solche Gleichung ist eine Differentialgleichung.
Differentialgleichung zum begrenzten Wachstums
Wenn die Funktion $f$ mit $f(x) = G + (a-G) \cdot e^{-k x}$ bzw. $f(x) = G - (G-a) \cdot e^{-k x}$ ein begrenztes Wachstum beschreibt, dann erhält man für die momentane Änderung des Bestandes die folgende Differentialgleichung:
$f'(x) = k \cdot (G - f(x))$
Die momentane Änderung des Bestandes ist also proportional zur momentanen Abweichung des Bestandes von der Grenze.
