Überprüfung – Logistisches Wachstum

Aufgabe 1

Verdeutliche mit Hilfe einer Skizze, wie ein logistisches Wachstum abläuft. Erkläre anhand der Skizze die charakteristischen Eigenschaften eines logistischen Wachstums. Gehe dabei auch auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede zum exponentiellen und begrenzten Wachstum ein.

Kontrolle

Zum Herunterladen: logistisch5c.ggb

Charakteristischen Eigenschaften:

• Expansionsphase: Der Bestand wächst sehr stark. Es liegt annähernd exponentielles Wachstum vor.
• Übergangsphase: Die Wachstumsdynamik nimmt ab, der Bestand wächst nahezu linear.
• Sättigungsphase: Der Bestand nähert sich einer Wachstumsgrenze. Es liegt annähernd begrenztes Wachstum vor.

Aufgabe 2

Das Wachstum eines Bestandes wird mit folgender logistischen Differentialgleichung beschrieben:

$f'(x) = \frac{0.1}{4000} \cdot f(x) \cdot (4000 - f(x))$

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Hast du alle acht Aussagen richtig bewertet?

• Der Anfangsbestand ist in der Differentialgleichung nicht angegeben.
• Das Wachstum beginnt mit dem Anfangswert $4000 \cdot 0.1$.
• Die Wachstumsgrenze liegt bei $\frac{4000}{0.1}$.
• Die Wachstumsgrenze liegt bei $4000$.
• Das Wachstum in der Expansionsphase erfolgt annähernd exponentiell mit der Wachstumskonstanten $\frac{0.1}{4000}$.
• Das Wachstum in der Expansionsphase erfolgt annähernd exponentiell mit einer prozentualen Wachstumsrate von ca. $10 \%$.
• In der Sättigungsphase nähert sich der Bestand annähernd exponentiell der Wachstumsgrenze.
• Das Wachstum in der Expansionsphase und die Annäherung an die Wachstumsgrenze in der Sättigungsphase erfolgen mit derselben Wachstumskonstante.

Kontrolle

• wahr: Der Anfangsbestand ist in der Differentialgleichung nicht angegeben.
• falsch: Das Wachstum beginnt mit dem Anfangswert $4000 \cdot 0.1$.
• falsch: Die Wachstumsgrenze liegt bei $\frac{4000}{0.1}$.
• wahr: Die Wachstumsgrenze liegt bei $4000$.
• falsch: Das Wachstum in der Expansionsphase erfolgt annähernd exponentiell mit der Wachstumskonstanten $\frac{0.1}{4000}$.
• wahr: Das Wachstum in der Expansionsphase erfolgt annähernd exponentiell mit einer prozentualen Wachstumsrate von ca. $10 \%$.
• wahr: In der Sättigungsphase nähert sich der Bestand annähernd exponentiell der Wachstumsgrenze.
• wahr: Das Wachstum in der Expansionsphase und die Annäherung an die Wachstumsgrenze in der Sättigungsphase erfolgen mit derselben Wachstumskonstante.