Übungen – Modellierung von Anstieg-Abfall-Prozessen
Aufgabe 1
Nach Einnahme eines Medikamentes kann man die Konzentration im Blut eines Patienten mit dem Peak-Modell $f(t) = 10t \cdot e^{-0.5t}$ beschreiben. Die Variable $t$ gibt dabei die Zeit in Stunden an, $f(t)$ beschreibt die vorhandene Medikamentenmenge im mg pro Liter Blut.
Zum Herunterladen: medikamenteneinnahme.ggb
(a) Zeige mit Hilfe der Ableitungsfunktion $f'$, dass die Funktion $f$ bis zum Zeitpunkt $t = 2$ streng monoton steigend und ab diesem Zeitpunkt streng monoton fallend ist. Ermittle auch die maximale Konzentration des Medikaments im Blut während des gesamten Einnahmeprozesses.
(b) Bestimme auch den Zeitpunkt, an dem die Abnahme der Konzentration maximal ist.
(c) Wenn die Konzentration des Medimkaments unter den Schwellenwert $s = 0.1$ fällt, dann ist muss das Medikament neu eingenommen werden. Begründe zunächst, dass man den Zeitpunkt $t$ nicht mit elementaren Umformungen bestimmen kann.
(d) Um den Zeitpunkt zum $s = 0.1$ grob abzuschätzen, wird die Funktion $g$ mit $g(t) = 100 \cdot e^{-0.5t}$ verwendet. Begründe: Wenn man $t_1$ bestimmt mit $g(t_1) = 0.1$, dann erhält man eine untere Grenze für den gesuchten Zeitpunkt $t_2$ mit $f(t_2) = 0.1$. Schätze mit diesem Ansatz den gesuchten Zeitpunkt ab.
Aufgabe 2
Die Zahl der Neuinfektionen pro Tag einer Epidemie werde (vereinfacht) durch das Modell $f(t) = 1200 \cdot e^{0.6t-0.05t^2}$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Wochen seit Beginn der Epidemie misst und $f(t)$ die Anzahl der täglichen Neuinfektionen angibt.
Zum Herunterladen: epidemie.ggb
(a) Zeige, dass die Funktion $f$ folgende Differentialgleichung erfüllt: $f'(x) = (0.6 - 0.1t) \cdot f(x)$.
(b) Begründe mit Hilfe der Differentialgleichung, dass Graph $f$ zunächst steigt und dann fällt.
(c) Bestimme die maximale Anzahl der Neuinfektionen.
(d) Ein naives Modell lautet $g(t) = 1200 \cdot e^{0.6t}$. Vergleiche $f(t)$ und $g(t)$ für kleine Zeiten. Diskutiere, warum $g(t)$ kein realistisches Modell für eine Epidemie liefert. Diskutere auch, warum $f(t)$ eine Epidemie nur grob vereifachend beschreibt.
(e) Zeige, dass man $f$ auch so darstellen kann: $f(t) = 1200 \cdot e^{1.8} \cdot e^{-0.5(t-6)^2}$. Begründe mit dieser Darstellung, dass Graph $f$ symmetrisch zur Geraden $x = 6$ ist.
Aufgabe 3
Ein Medikament wird oral eingenommen. Nach der Einnahme befindet sich der Wirkstoff zunächst im Magen-Darm-Trakt und gelangt dann ins Blutplasma, wo er seine Wirkung entfaltet und anschließend abgebaut wird. Wir beschreiben diesen zweistufigen Prozess mit den beiden folgenden Funktionen.
- $t$: Zeit ab der Einnahme des Medikaments [in Stunden]
- $A(t)$: Wirkstoffmenge im Darm [in mg]
- $B(t)$: Wikstoffmenge im Blutplasma [in mg]
Das dynamische Verhalten der beiden Wirkstoffmengen lässt sich mit zwei Differentialgleichungen beschreiben:
- Die Funktion $A$ erfüllt die Differentialgleichung $A'(t) = -k_1 \cdot A(t)$ mit $k_1 = 1.2$ und dem Anfangswert $A_0 = 500$.
- Die Funktion $B$ erfüllt die Differentialgleichung $B'(t) = k_1 \cdot A(t) - k_2 \cdot B(t)$ mit $k_2 = 0.3$ und dem Anfangswert $B_0 = 0$.
(a) Deute die beiden Differentialgleichungen inhaltlich.
(b) Zeige, dass die folgenden Funktionen die Differentialgleichungen mit ihren Anfangsbedingungen erfüllen.
- $A(t) = 500 \cdot e^{-1.2 t}$
- $B(t) = \frac{600}{0.9} (e^{-0.3 t} - \cdot e^{-1.2 t})$
(c) Das Applet zeigt die Graphen der beiden Funktionen $A$ und $B$. Es fällt auf, dass Graph $B$ zunächst ansteigt und dann wieder abfällt. Begründe mit Hilfe der passenden Differentialgleichung: Graph $B$ steigt, solange $k_1 \cdot A(t) > k_2 \cdot B(t)$ gilt.
Zum Herunterladen: oralemedikamentengabe.ggb
(d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Wirkstoffmenge im Blut maximal ist. Bestimme auch diesen Maximalwert.
