Beispiel 4

Aufgabe

Betrachte die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = (x^2-k) \cdot e^{-x^2}$. Der Parameter $k$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein. Im Applet kann man mit dem Schieberegel einige ausgewählte Werte für $k$ einstellen.

Zum Herunterladen: aufgabe4.ggb

(a) Zeige zunächst, dass Graph $f_k$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und die $x$-Achse als Asymptote hat.

(b) Variiere $k$ und beobachte jeweils die Anzahl der Nullstellen und Extremstellen. Ergänze die folgenden Aussagen.

(c) Bestimme die Nullstellen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$.

(d) Bestimme die Ableitungsfunktion $f_k'$ und untersuche in Abhängigkeit von $k$, an welchen Stellen die Funktion $f_k$ eine horizontale Tangente hat.

(e) Zeige, dass die für $k > -1$ zusätzlich auftretenden Hochpunkte auf Graph $h$ mit $h(x) = e^{-x^2}$ liegen.